Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1>=\left(x+y\right)^2>=\left(2\sqrt{xy}\right)^2=4xy\Rightarrow1>=4xy\Rightarrow\frac{1}{2}>=2xy\)(bđt cosi)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}>=\frac{4}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2>=\frac{4}{1^2}+2=4+2=6\)
dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
vậy min \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=6\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
ta có \(\left(ad-bc\right)^2+\left(ac+bd\right)^2=a^2d^2-2abcd+b^2c^2+a^2c^2+2abcd+b^2d^2\)
\(=a^2d^2+a^2c^2+b^2d^2+b^2c^2=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
=> \(1+\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)\ge2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}=2\sqrt{1+\left(ac+bd\right)^2}\)
=> \(a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\ge2\sqrt{\left(ac+bd\right)^2+1}+ac+bd\)
đặt \(ac+bd=m\left(m\ge0\right)\)
=> \(S\ge m+2\sqrt{m^2+1}\)
ta cần chắng minh \(m+2\sqrt{m^2+1}\ge\sqrt{3}\Leftrightarrow m^2+4\left(m^2+1\right)+4m\sqrt{m^2+1}\ge3\)
\(\Leftrightarrow m^2+1+4m^2+4m\sqrt{m^2+1}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{m^2+1}+2m\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
=> \(S\ge\sqrt{3}\) (ĐPCM)
Giải:
\(S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\)
\(\Leftrightarrow S=a^2+b^2+c^2+d^2-2ac+ac+2bd-bd\)
\(\Leftrightarrow S=a^2-2ac+c^2+b^2+2bd+d^2+ac-bd\)
\(\Leftrightarrow S=\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2+2bd+d^2\right)-\left(ac-bd\right)\)
\(\Leftrightarrow S=\left(a-c\right)^2+\left(b+d\right)^2-1\)
\(\Leftrightarrow S\ge-1\)
\(\Leftrightarrow S\ge\sqrt{3}\left(\sqrt{3}>1\right)\)
Vậy ...
Bài 2:
a: \(BC=\sqrt{10^2+8^2}=2\sqrt{41}\left(cm\right)\)
\(AH=\dfrac{8\cdot10}{2\sqrt{41}}=\dfrac{40}{\sqrt{41}}\left(cm\right)\)
\(BH=\dfrac{64}{2\sqrt{41}}=\dfrac{32}{\sqrt{41}}\left(cm\right)\)
\(CH=\dfrac{100}{2\sqrt{41}}=\dfrac{50}{\sqrt{41}}\left(cm\right)\)
b: \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AH^2}{AB}:\dfrac{BH^2}{AB}=\dfrac{AH^2}{BH^2}\)
bài này thì đơn giản thôi
1+(ac+bd)2=(ad-bc)2+(ac+bd)2=a2d2+b2c2+a2c2+b2d2
=(a2+b2)(c2+d2)
\(P=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\ge ac+bd+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\)
\(=ac+bd+2\sqrt{\left(ac+bd\right)^2+1}\)
đặt ac+bd=Q.
P trở thành:
\(P=Q+2\sqrt{Q^2+1}\Rightarrow P^2=Q^2+4\left(Q^2+1\right)+4Q.\sqrt{Q^2+1}=\left(\sqrt{Q^2+1}+2Q\right)^2+3\ge3\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\left(Q.E.D\right)\)
Bạn giải thích chỗ này ra được không \(ac+bd+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\)
\(=ac+bd+2\sqrt{\left(ac+bd\right)^2+1}\)
mà đề cho (a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) thì phải liên tưởng đến (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) để đưa vào bất đẳng thức. Vậy phải xuất phát từ biểu thức này và biến đổi theo một cách nào đó cho nó xuất hiện giả thiết là : ad - bc = 1. Ở đây là thêm và bớt 2abcd
Ta có: (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac)^2 + (bd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd + 2abcd = (ad - bc)^2 + (ac + bd)^2
Thay: ad - bc = 1 => 1 + (ac + bd)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)
Áp dụng BĐT Cauchy:
(a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) ≥ 2√[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)]
=> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ac + bd ≥ 2√[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)] + ac + bd
Do đó chỉ cần CM: 2√[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)] + ac + bd ≥ √3
<=> 2 √[1 + (ac + bd)^2] + ac + bd ≥ √3
Đặt ac + bd = x và p = 2√(1 + x^2) + x
Ta có IxI = √(x^2) < 2√(1 + x^2) ; mà IxI ≥ -x => p > 0
Xét: p^2 = 4(1 + x)^2 + 4x√(1 + x^2) + x^2 = (1 + x^2) + 4x√(1 + x^2) + 4x^2 + 3
= [√(1 + x^2) + 2x]^2 + 3 ≥ 3 => p^2 ≥ 3 => p ≥ √3
=> S ≥ √3
b/ Dấu đẳng thức xảy ra khi a^2 + b^2 = c^2 + d^2 và √(1 + x^2) + 2x = 0 => x = -1/√3
Khi đó có: a^2 + b^2 = c^2 + d^2 và ac + bd = -1/√3 và ad - bc = 1
Theo biến đổi ở đầu bài thì (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ad - bc)^2 + (ac + bd)^2 = 1 + 1/3 = 4/3
Do đó: a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 2/√3
Ta có: (a + c)^2 + (b + d)^2 = a^2 + c^2 + b^2 + d^2 + 2ac + 2bd = 2. 2/√3 + 2.(-1/√3) = 2/√3
vậy: (a + c)^2 + (b + d)^2 = 2/√3
Học chi cho lắm cx bằng nhau à
trong sách
sách j vậy