Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\frac{a-\left(c-b\right)}{b-c}+\frac{b-\left(a-c\right)}{c-a}+\frac{c-\left(b-a\right)}{a-b}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+\left(b-c\right)}{b-c}-1+\frac{b+\left(c-a\right)}{c-a}-1+\frac{c+\left(a-b\right)}{a-b}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)\left(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(a-c\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}+\frac{a+b}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{a+c}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\frac{b+c}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}+\frac{a^2-b^2+c^2-a^2+b^2-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)
Từ gt ta có : \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)0
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}\right).\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(a-c\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}+\frac{a}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{a}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{b}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}+\frac{b}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{c}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(a-c\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}+\frac{a\left(c-a\right)+a.\left(a-b\right)+b.\left(a-b\right)+b.\left(b-c\right)+c.\left(b-c\right)+c.\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(a-c\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}+\frac{ac-a^2+ab-ac+ba-b^2+b^2-bc+bc-c^2+c^2-ac}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(a-c\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}+0=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(a-c\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)
đpcm
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\frac{yz}{xyz}+\frac{xz}{xyz}+\frac{xy}{xyz}=0\)
\(\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)
yz + xz + xy = 0
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=x^2+y^2+z^2+2\times\left(xy+xz+yz\right)=x^2+y^2+z^2+2\times0=x^2+y^2+z^2\left(\text{đ}pcm\right)\)
a) Từ giả thiết suy ra: xy + yz + zx = 0
Do đó:
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\)
b) Đặt \(\frac{1}{a-b}=x\); \(\frac{1}{b-c}=y\); \(\frac{1}{c-a}=z\)
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a-b+b-c+c-a=0\)
Theo câu a ta có: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)
Suy ra điều phải chứng minh
Ta chuyển vế rồi quy đồng vế phải:
a/(b-c)=-(ab-b2+c2-ac)/(c-a)(a-b) (1)
b/(c-a)=-(a2-ab+bc-c2)/(b-c)(a-b) (2)
c/(a-b)=-(b2-bc+ac-a2)/(c-a)(b-c) (3)
Ta phân tích phần phải chứng minh:
a/(b-c)2+b/(c-a)2+c/(a-b)2=a/(b-c)x1/(b-c)+b/(c-a)x1/(c-a)+c/(a-b)x1/(a-b)
Thay lần lượt (1) (2) (3) vào ta đc: -(ab-b2+c2-ac)/(c-a)(a-b)(b-c)-(a2-ab+bc-c2)/(b-c)(a-b)(c-a)-(b2-bc+ac-a2)/(c-a)(b-c)(a-b)
Ta thấy biểu thức trên có cùng mẫu nên ta cộng tất cả tử số :
=(-ab+b2-c2+ac-a2+ab-ac+c2-b2+bc-ac+a2)/(c-a)(b-c)(a-b)
=0/(c-a)(b-c)(a-b)
=0 =>đpcm
từ đề bài \(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}=\frac{-b\left(a-b\right)-c\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\)
Tương tự : \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{-cb+c^2-a^2+ab}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\\\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{-ac+a^2-b^2+bc}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được : \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c^2}{\left(a-b\right)^2}\)
\(=\frac{-ab+b^2-c^2+ac-bc+c^2-a^2+ab-ac+a^2-b^2+bc}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}=0\)(đpcm)
e Bon đz:
ĐKXĐ: \(a\ne b\ne c\) =))
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)=0\)
Nhân hết ra và tự làm tiếp nhé~
Từ đề bài ta có: \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=\frac{ab-b^2-ac+c^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{ab-ac-b^2+c^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{cb-ab-c^2+a^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
\(\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{ca-cb-a^2+b^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
Cộng các vế các hằng đẳng thức trên ta suy ra đpcm
(Không chắc sai thì thôi :D )