Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo bài ra ta có:
\(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(=\dfrac{bc+ac+ab}{abc}=bc+ac+ab\)
Ta lại có:
\(\left(a.b.c-1\right)+\left(a+b+c\right)-\left(bc+ca+ab\right)=0\)
\(=>\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(=>\left[{}\begin{matrix}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)
CHÚC BẠN HỌC TỐT.........
\(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\\ \Leftrightarrow a+b+c=\dfrac{bc+ac+ab}{abc}\\ \Leftrightarrow a+b+c=bc+ac+ab\\ \Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ac+abc-1=0\\ -a\left(b-1\right)-c\left(b-1\right)+ac\left(b-1\right)+\left(b-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(-a-c+ac+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)
`1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)`
`<=>(a+b)/(ab)+(a+b)/(c(a+b+c))=0`
`<=>(a+b)(ab+ac+bc+c^2)=0`
`<=>(a+b)(a+c)(b+c)=0`
`=>` $\left[ \begin{array}{l}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{array} \right.$
`=>` PT luôn tồn tại 2 số đối nhau
Bài 1:a,b,c ba cạnh tam giác => a,b,c dương
\(\left\{{}\begin{matrix}a+c>b\\a+b>c\\b+c>a\end{matrix}\right.\) ta có: \(\dfrac{x}{y}< \dfrac{x+p}{y+p}\forall_{x,y,p>0\&x< y}\)
\(VT=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b}{c+a}< \dfrac{a+c+c}{a+b+c}+\dfrac{b+b}{a+b+c}=\)
\(=\dfrac{a+b+c+b+c}{a+b+c}< \dfrac{\left(a+b+c\right)+\left(A+b+c\right)}{a+b+c}< \dfrac{2\left(b+a+c\right)}{a+b+c}=2=VP\)
p/s: đề sao làm vậy:
mình nghi đề phải thế này: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\) cách làm đơn giản hơn
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) ( Tự chứng minh BĐT này ), ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\dfrac{1}{\dfrac{4}{a+b}}=\dfrac{a+b}{4}\left(1\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}\le\dfrac{b+c}{4}\left(2\right)\)
\(\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}}\le\dfrac{c+a}{4}\left(3\right)\)
Cộng \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) vế theo vế, ta được:
\(P\le\dfrac{a+b+b+c+c+a}{4}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Có gì đâu nhỉ?
Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{4,5}{a+b+c}>\dfrac{3}{a+b+c}\)
áp dụng BĐT cauchy- schwarz ta có
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)
⇔ \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
⇔ \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{3}{a+b+c}\) (đpcm)
giả sử \(\dfrac{a+b}{2a-b}\dfrac{c+b}{2c-b}< 4\)
\(< =>\dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}-4< 0\)
\(< =>\dfrac{2ac-ab+2bc-b^2+2ac-bc+2ab-b^2-2bc+4b^2+4ac-2ab}{4ac-2ab-2bc+b^2}< 0\)
<=> \(\dfrac{8ac-bc-ab+2b^2}{4ac-2\left(ab+bc\right)+b^2}< 0\)
\(\left(do\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{b}< =>\dfrac{a+c}{ac}=\dfrac{2}{b}< =>ab+bc=2ac\right)\)
<=> \(\dfrac{8ac-2ac+2b^2}{b^2}< 0< =>\dfrac{6ac+2b^2}{b^2}< 0\)
mà a,b,c là số dương theo giả thiết nên \(\dfrac{6ac+2b^2}{b^2}\)không thể bé hơn 0
=> giả sử sai => \(\dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}-4\) phải lớn hơn hoặc bằng 0
=> \(\dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}\) lớn hơn hoặc bằng 4 (Đpcm)
mình nghĩ nếu giải bám sát thì sẽ xác thực hơn là giải sử vậy cách giải nên chỉ tính cái cần cm minh rồi đổi vế rồi dựa vào điều kiện người ta cho thì hay hơn
Câu hỏi của không cần biết - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath