Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì \(a;b;c>0\) nên \(a+b+c>0\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c+a-b}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}=\dfrac{2b+c-a+2c+a-b+2a+b-c}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+c=3a\Leftrightarrow3a-2b=c\\2c+a=3b\Leftrightarrow3b-2c=a\\2a+b=3c\Leftrightarrow3c-2a=b\end{matrix}\right.\)
Khi đó: \(\dfrac{\left(3a-2b\right)\left(3b-2c\right)\left(3c-2a\right)}{abc}=\dfrac{abc}{abc}=1\)
Ta có: \(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c-b+a}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c-b+a}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}=\dfrac{2b+c-a+2c-b+a+2a+b-c}{a+b+c}=\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{2b+c-a}{a}=2\Leftrightarrow2b+c-a=2a\Leftrightarrow2b+c=3a\Leftrightarrow c=3a-2b\)
Và : \(2b+c=3a\Leftrightarrow2b=3a-c\)
Tương tự: \(3b-2c=a\) và \(2c=3b-a\)
\(3c-2a=b\) và \(2a=3c-b\)
Thay vào Q, ta được:
\(Q=\dfrac{c.a.b}{2b.2c.2a}=\dfrac{1}{8}\)
Lời giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c+a-b}{b}=\frac{2a+b-c}{c}=\frac{2b+c-a+2c+a-b+2a+b-c}{a+b+c}\)
\(=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2\)
Do đó: \(\left\{\begin{matrix} 2b+c-a=2a\\ 2c+a-b=2b\\ 2a+b-c=2c\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b=3a-c\\ 2c=3b-a\\ 2a=3c-b\end{matrix}\right.\) và \(\left\{\begin{matrix} c=3a-2b\\ a=3b-2c\\ b=3c-2a\end{matrix}\right.\)
Suy ra: \(P=\frac{(3a-2b)(3b-2c)(3c-2a)}{(3a-c)(3b-a)(3c-b)}=\frac{c.a.b}{2b.2c.2a}=\frac{1}{8}\)
\(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c-b+a}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}\)<=>\(\dfrac{2b+c}{a}-1=\dfrac{2c+a}{b}-1=\dfrac{2a+b}{c}-1\)
<=>\(\dfrac{2b+c}{a}=\dfrac{2c+a}{b}=\dfrac{2a+b}{c}=\dfrac{2b+c+2c+a+2a+b}{a+b+c}=\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=3\)=>\(\left\{{}\begin{matrix}2b+c=3a\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-2b=c\\3a-c=2b\end{matrix}\right.\\2c+a=3b\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3b-2c=a\\3b-a=2c\end{matrix}\right.\\2a+b=3c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3c-2a=b\\3c-b=2a\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) thay vào
\(P=\dfrac{\left(3a-2b\right)\left(3b-2c\right)\left(3c-2a\right)}{\left(3a-c\right)\left(3b-a\right)\left(3c-b\right)}=\dfrac{c.a.b}{2b.2c.2a}=\dfrac{1}{8}\)
Lời giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}=\frac{2b+c-a+2c-b+a2a+b-c}{a+b+c}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2\)
\(\left\{\begin{matrix} 2b+c-a=2a\\ 2c-b+a=2b\\ 2a+b-c=2c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b+c=3a\\ 2c+a=3b\\ 2a+b=3c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c=3a-2b\\ a=3b-2c\\ b=3c-2a\end{matrix}\right.\Rightarrow (3a-2b)(3b-2c)(3c-2a)=abc\) (1)
Và \(\left\{\begin{matrix} 2b=3a-c\\ 2c=3b-a\\ 2a=3c-b\end{matrix}\right.\Rightarrow (3a-c)(3b-a)(3c-b)=8abc\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(M=\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\)
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c-b+a}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}=\) \(\dfrac{2b+c-a+2c-b+a+2a+b-c}{a+b+c}=\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Do \(\dfrac{2b+c-a}{a}=2\Rightarrow2b+c-a=2a\)
\(\Rightarrow2b+c-a+a=3a\)
\(\Rightarrow2b+c=3a\Rightarrow3a-2b=c\)
Lại do \(\dfrac{2c-b+a}{b}=2\) \(\Rightarrow2c-b+a=2b\)
\(\Rightarrow2c+a-3b=0\)
\(\Rightarrow3b-2c=a\)
Ta lại có \(\dfrac{2a+b-c}{c}=2\Rightarrow2a+b-c=2c\)
\(\Rightarrow2a+b-c+c=3c\)
\(\Rightarrow2a +b=3c\)
\(\Rightarrow3c-2a=b\)
Khi đó:
\(P=\dfrac{c.a.b}{2b.2c.2a}=\dfrac{1}{8}\) (đoạn này mk làm hơi tắt, nếu không hiểu thì nói mk nhé!)
Vậy \(P=\dfrac{1}{8}.\)
Chú ý: Ở tử của p/s phải là 3a \(-2b\) mới làm được bài này.
Vì \(a+b+c+d\ne0\) nên áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{d}{a}=\dfrac{a+b+c+d}{b+c+d+a}=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=d\\d=a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c=d\) (1)
Thay (1) vào P, ta có:
\(P=\dfrac{2a-a}{a+a}+\dfrac{2a-a}{a+a}+\dfrac{2a-a}{a+a}=\dfrac{2a-a}{a+a}\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{a}{2a}+\dfrac{a}{2a}+\dfrac{a}{2a}+\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=2\)
Vậy P = 2
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{d}{a}=k\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d}.\dfrac{d}{a}=k^4\)
\(\Rightarrow k=\pm1\)
- Với \(k=1\) :
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{d}{a}\)
\(\Rightarrow a=b=c=d\)
- Với \(k=-1\) :
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{d}{a}=-1\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-d\\d=-a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=-b=c=-d\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{2a+a}{2a+a}+\dfrac{-2a-a}{-2a-a}+\dfrac{2a+a}{2a+a}+\dfrac{-2a-a}{-2a-a}\)
\(\Rightarrow P=4\)
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{2b+c}=\frac{b}{2c+a}=\frac{c}{2a+b} =\frac{a+b+c}{3(a+b+c)}=\frac{1}{3} \)
=>a=3(2b+c)
=>b=3(2c+a)
=>c=3(2a+b)
=> A=\(\frac{2b+c}{a}+\frac{2c+a}{b}+\frac{2a+b}{c}=\frac{2b+c}{3(2b+c)} +\frac{2c+a}{3(2c+a)}+\frac{2a+b}{3(2a+b)} \)=\(\frac{1}{3}+\frac{1}3{}+\frac{1}3{} \)=1