Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 14.
Áp dụng định lí hàm số Cô sin, ta có:
\(\dfrac{{{\mathop{\rm tanA}\nolimits} }}{{\tan B}} = \dfrac{{\sin A.\cos B}}{{\cos A.\sin B}} = \dfrac{{\dfrac{a}{{2R}}.\dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ac}}}}{{\dfrac{b}{{2R}}.\dfrac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{2bc}}}} = \dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}} \)
Bài 19.
Áp dụng định lí sin và định lí Cô sin, ta có:
\( \cot A + \cot B + \cot C\\ = \dfrac{{R\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{R\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{R\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{abc}} = \dfrac{{R\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{abc}}\left( {dpcm} \right) \)
Câu 2)
Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{b+1+a+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{3}\)
Ta có \(a+b=1\)
\(\Rightarrow\frac{3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{\left(a+1\right)b+a+1}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{ab+b+a+1}\ge\frac{4}{3}\)
Ta có \(a+b=1\)
\(\Rightarrow\frac{3}{ab+2}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow9\ge4\left(ab+2\right)\)
\(\Rightarrow9\ge4ab+8\)
\(\Rightarrow1\ge4ab\)
Do \(a+b=1\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (đpcm )
Câu 3)
Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
Mà \(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)
\(\Rightarrow a+b+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{abc}\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9.\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\) (điều này luôn luôn đúng)
\(\Rightarrow\) ĐPCM
\(BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot\cos A\)
\(=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos60\\ =AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\dfrac{1}{2}\\ =AB^2+AC^2-AB\cdot AC\)
\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{c^2+b^2-a^2}{2\cdot b\cdot c}=\dfrac{1}{2}\)
=>\(c^2+b^2-a^2=b\cdot c\)
=>\(\dfrac{b}{b^2-a^2}=\dfrac{c}{a^2-c^2}\)