Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C K
Kẻ tia phân giác BK cắt AC tại K
\(\Rightarrow\widehat{ABK}=\widehat{CBK}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)
Mà ta có \(\widehat{B}=2\widehat{C}\)
Suy ra \(\widehat{ABK}=\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)
Xét △BKC có
\(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)(cmt)
Suy ra △BKC cân tại K\(\Rightarrow BK=KC\)
Xét △ABK và △ACB có
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{ABK}=\widehat{KCB}\)(cmt)
Suy ra △ABK ∼ △ACB(g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BK}{BC}\Rightarrow AC.BK=AB.BC\Rightarrow AC.BK=8.10=80\Rightarrow AC.KC=80\left(1\right)\)
Ta có △ABK ∼ △ACB\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AK}{AB}\Rightarrow AC.AK=AB^2\Rightarrow AC.AK=8^2=64\left(2\right)\)
Cộng (1),(2)\(\Rightarrow AC.KC+AC.AK=80+64\Rightarrow AC\left(KC.AK\right)=144\Rightarrow AC.AC=144\Rightarrow AC^2=144\Rightarrow AC=12\left(cm\right)\)
b) Giả sử AC>BC>AB
Đặt AB=x(x∈N*)\(\Rightarrow BC=x+1\Rightarrow AC=x+2\)
Theo câu a, ta có △ABK ∼ △ACB
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BK}{BC}\Rightarrow AB.BC=BK.AC\Rightarrow AB.BC=KC.AC\Rightarrow x\left(x+1\right)=\left(x+2\right)KC\left(3\right)\)
ta có △ABK ∼ △ACB\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AK}{AB}\Rightarrow AB^2=AK.AC\Rightarrow x^2=\left(x+2\right)AK\left(4\right)\)
Cộng (3),(4)\(\Rightarrow x\left(x+1\right)+x^2=\left(x+2\right)KC+\left(x+2\right).AK\Leftrightarrow x^2+x+x^2=\left(x+2\right)\left(KC+AK\right)\Leftrightarrow2x^2+x=\left(x+2\right).AC\Leftrightarrow2x^2+x=\left(x+2\right)^2\Leftrightarrow2x^2+x=x^2+4x+4\Leftrightarrow x^2-3x-4=0\Leftrightarrow x^2+x-4x-4=0\Leftrightarrow x\left(x+1\right)-4\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-4\right)=0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x-4=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=-1\left(ktm\right)\\x=4\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy x=4\(\Rightarrow AB=4\Rightarrow BC=5\Rightarrow AC=6\)
Hình tự vẽ
Dễ dàng cm:AC lớn nhất.
Trên AC lấy D sao cho \(\widehat{CBD}=\widehat{CAB}\)
\(\Rightarrow\Delta BCD\sim\Delta ACB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow BC^2=AC.CD=AC\left(AC-AD\right)\)(1)
Lại có:\(\widehat{B}=\widehat{A}+2\widehat{C}\)
\(\Rightarrow\widehat{DBA}=90^0-\dfrac{\widehat{A}}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta ABD\) cân tại A
\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow BC^2=AC\left(AC-AB\right)\)
Đặt ẩn giải tiếp
A B C D 1 2 1
Trong \(\Delta\)ABC có: ^A = ^B +2.^C => ^A > ^B và ^A > ^C => BC là cạnh lớn nhất trong tam giác ABC.
+) Xét trường hợp: AB < AC < BC. Khi đó; ta đặt: AB = a; AC = a+1; BC = a+2 (Với a thuộc N*)
Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho ^BAD = ^ACB, hay ^A1 = ^C (theo hình vẽ)
Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)DBA có: ^A1 = ^C; ^B chung => \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)DBA (g.g)
=> \(\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BA}\)=> AB2 = BC.BD hay a2 = (a+2).BD (*)
Ta thấy: ^BAC = ^B + 2.^C; ^BAC = ^A1 + ^A2 = ^C + ^A2 => ^B + 2.^C = ^C + A2 <=> ^B + ^C = ^A2 (1)
Do ^D1 là góc ngoài \(\Delta\)BAD nên ^D1 = ^A1 + ^B = ^B + ^C (Vì ^C = ^A1) (2)
Từ (1) và (2) => ^D1 = ^A2 => \(\Delta\)ACD cân tại C => AC= CD = a+1 => BD = BC - CD = BC - AC = a+2 - a - 1 = 1
Thay BD = 1 vào (*) ta có:
\(a^2=\left(a+2\right).1\Leftrightarrow a^2-a-2=0\Leftrightarrow a^2+a-2a-2=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)-2\left(a+1\right)=0\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-1\\a=2\end{cases}}\)
=> a = 2. (Loại TH a = -1 vì a thuộc N*) => a+1 = 3; a+2 = 4
Hay AB = 2; AC = 3; BC = 4
+) Xét trường hợp AC < AB < BC. Đặt AC = a; AB = a+1; BC = a+2
Chứng ming tương tự TH 1; ta có: AB2 = BC.BD; BD = BC - CD = BC - AC = a+2 - a = 2
Hay \(\left(a+1\right)^2=2\left(a+2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a+1=2a+4\Leftrightarrow a^2=3\Leftrightarrow a=\pm\sqrt{3}\)(loại vì a thuộc N*)
Vậy độ dài 3 cạnh trong \(\Delta\)ABC t/m đề là AB = 2; AC = 3; BC = 4.
J A B C O E D H K M N
a) Xét hai tam giác ABD và ACE có:
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta ABD\sim\Delta ACE\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\Rightarrow AD.AC=AE.AB\)
b) Xét tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao nên H là trực tâm. Vậy thì AH vuông góc với BC tại K.
c) Ta thấy AMO; AKO; ANO là các tam giác vuông có chung cạnh huyền AO nên A, M, K, O, N cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
Khi đó \(\widehat{AKN}=\widehat{AMN}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
Lại có AM = AN nên \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)
Suy ra \(\widehat{AKN}=\widehat{ANM}\)
d) Gọi J là giao điểm của MN với AO.
Xét tam giác vuông ANO, đường cao NJ, ta có:
\(AJ.AO=AN^2\) (Hệ thức lượng)
Lại có \(\Delta AHJ\sim\Delta AOK\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AO}=\frac{AJ}{AK}\)
\(\Rightarrow AJ.AO=AH.AK\)
\(\Rightarrow AN^2=AH.AK\)
\(\Rightarrow\Delta AHN\sim\Delta ANK\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{ANH}=\widehat{AKN}\)
Mà \(\widehat{AKN}=\widehat{ANM}\Rightarrow\widehat{ANH}=\widehat{ANM}\) hay M, N, H thẳng hàng.
Hoàng Thị Thu Huyền ơi ngộ nhận kìa. ý d đang chứng minh thẳng hàng mà bạn có 2 cái tam giác AHJ và AOK đồng dạng (g g) thì sao được ??