Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cách khác:
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}\right)+\left(\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left[b\left(1+a^2\right)-a\left(1+b^2\right)\right]}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\) (luôn đúng).
\(\Leftrightarrow\left(2+a^2+b^2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2+2ab+a^2+b^2+ab\left(a^2+b^2\right)\ge2+2a^2+2b^2+2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi \(a\ge1;b\ge1\))
Vì \(a\ge b\ge c\ge1\) ta có bổ đề
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
Lợi dụng cái trên ta được
\(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\)
\(\ge\frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{abc^4}}\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{a^4b^4c^4}}=\frac{4}{1+abc}\)
PS: Đề sai nên t sửa luôn đề rồi nhé
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}\)
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(2+a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
b/ \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^4}+\frac{3}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{1+b^4}+\frac{3}{1+c^4}\ge\frac{4}{1+bc^3}\); \(\frac{1}{1+c^4}+\frac{3}{1+a^4}\ge\frac{4}{1+a^3c}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Chứng minh bằng biến đổi tương đương :
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}\right)+\left(\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)\left(\frac{b}{1+b^2}-\frac{a}{1+a^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{1+ab}.\frac{\left(a-b\right)\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(ab+1\right)\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\ge0\)
Vì \(a\ge1,b\ge1\) nên \(ab-1\ge0\) . Mặt khác vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\) nên ta có điều phải chứng minh.
đề bài
cm
1/a+2 + 1/b+2 +1/c+2 <=1
bn p viết đề chứ???
##thiêndi###
Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau: Nếu \(a,b\ge1\)thì \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+\sqrt{ab}}\right)+\left(\frac{1}{1+b}-\frac{1}{1+\sqrt{ab}}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)}{\left(1+a\right)\left(1+\sqrt{ab}\right)}+\frac{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(1+b\right)\left(1+\sqrt{ab}\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{b}\left(1+a\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-\sqrt{a}\left(1+b\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+\sqrt{ab}\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{ab}-1\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+\sqrt{ab}\right)}\ge0\)*đúng do \(\sqrt{ab}\ge1\)(vì a,b\(\ge1\))*
Áp dụng bổ đề trên, ta được: \(\left(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}\right)+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
Tương tự: \(\left(\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+c^4}\right)+\frac{2}{1+c^4}\ge\frac{4}{1+bc^3}\); \(\left(\frac{1}{1+c^4}+\frac{1}{1+a^4}\right)+\frac{2}{1+a^4}\ge\frac{4}{1+ca^3}\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+c^4}\ge\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)(đpcm)
Cho a, b, c dương thỏa a +b + c = 3. Cmr: \(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\ge1\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\frac{2}{2+a^2b}+\frac{2}{2+b^2c}+\frac{2}{2+c^2a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b}{2+a^2b}+\frac{b^2c}{2+b^2c}+\frac{c^2a}{2+c^2a}\le1\)
Ta có: \(VT=\sum\frac{a^2b}{1+1+a^2b}\le\frac{1}{3}\sum\frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}}=\frac{1}{3}\sum\sqrt[3]{a^4b^2}=\frac{1}{3}\sum\sqrt[3]{a^2.ab.ab}\)
\(VT\le\frac{1}{9}\sum\left(a^2+ab+ab\right)=\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)^2=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
khó quá bạn ơi mình cần thêm thời gian để làm
nhanh lên nhé