Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0}\)
Tương tự \(\left(b+1\right)\left(b-2\right)\le0,\left(c+1\right)\left(c-2\right)\le0\)
=> (a+1)(a-2)+(b+1)(b-2)+(c+1)(c-2)\(\le\)0 => a2+b2+c2-(a+b+c)-6\(\le\)0
=>a2+b2+c2 \(\le\)6
Dấu "=" xảy ra <=> (a+1)( a-2)=0, (b+1)(b-2)=0, (c+1)(c-2)=0 , a+b+c=0 <=> a=2, b=c=-1 và các hoán vị
Theo bài ra ta có \(0\le a\le b\le c\) nên b\(+\)c \(\ge\)2b
Do đó suy ra \(\frac{2a^2}{b+c}\le\frac{2a^2}{2b}\)suy ra \(\frac{2a^2}{b+c}\le\frac{a^2}{b}\)
Chưng minh tương tự có \(\frac{2b^2}{c+a}\le\frac{b^2}{c}\)và \(\frac{2c^2}{a+b}\le\frac{c^2}{a}\)
Cộng vế với vế của các bđt cùng chiều trên ta sẽ suy ra điều phải chứng minh
#nga
Sai rồi nếu như theo cách chứng minh của bạn thì ta có: a + c \(\ge2c\)cái này vô lý.
1.
\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\Leftrightarrow a^2\le}2+a\)
Tương tự \(b^2\le2+b,c^2\le2+c\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le6+a+b+c=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=2,b=c=-1 và các hoán vị của chúng
Xét \(\frac{a^2+1}{a}=a+\frac{1}{a}\)
Dễ thấy dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{1}{3}\)
khi đó \(a+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{9a}+\frac{8}{9a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{9a}}+\frac{8}{\frac{9.1}{3}}=\frac{10}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}\le\frac{3}{10}\)
tương tự =>đpcm
Ta có: \(-1\le a,b,c\le2\Rightarrow a+1\ge0;a-2\le0\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2-a-2\le0\Leftrightarrow a^2\le a+2\)
Tương tự:
\(b^2\le b+2\)
\(c^2\le c+2\)
Cộng vế theo vế, ta được:
\(a^2+b^2+c^2\le a+b+c+2+2+2=6\)
Vậy ta có đpcm
@Ace Legona,@Akai Haruma giúp mình