Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dễ dàng nhận thấy \(u_n\) là dãy dương
Ta sẽ chứng minh \(u_n< 2\) ; \(\forall n\)
Với \(n=1\Rightarrow u_1=\sqrt{2}< 2\) (thỏa mãn)
Giả sử điều đó đúng với \(n=k\) hay \(u_k< 2\)
Ta cần chứng minh \(u_{k+1}< 2\)
Thật vậy, \(u_{k+1}=\sqrt{u_k+2}< \sqrt{2+2}=2\) (đpcm)
Do đó dãy bị chặn trên bởi 2
Lại có: \(u_{n+1}-u_u=\sqrt{u_n+2}-u_n=\dfrac{u_n+2-u_n^2}{\sqrt{u_n+2}+u_n}=\dfrac{\left(u_n+1\right)\left(2-u_n\right)}{\sqrt{u_n+2}+u_n}>0\) (do \(u_n< 2\))
\(\Rightarrow u_{n+1}>u_n\Rightarrow\) dãy tăng
Dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. Gọi giới hạn đó là k>0
Lấy giới hạn 2 vế giả thiết:
\(\lim\left(u_{n+1}\right)=\lim\left(\sqrt{u_n+2}\right)\Leftrightarrow k=\sqrt{k+2}\)
\(\Leftrightarrow k^2-k-2=0\Rightarrow k=2\)
Vậy \(\lim\left(u_n\right)=2\)
a)
\(u_1=5\)
\(u_2-u_1=1\)
\(u_3-u_2=4\)
............
\(u_n-u_{n-1}=3\left(n-1\right)-2=3n-5\)
Cộng từng vế của đẳng thức và rút gọn ta được:
\(u_n=5+1+4+7+...+3n-5\)
\(=5+\dfrac{\left(3n-5+1\right)\left(n-1\right)}{2}=5+\dfrac{\left(3n-4\right)\left(n-1\right)}{2}\).
Vậy \(u_n=5+\dfrac{\left(3n-4\right)\left(n-1\right)}{2}\) với \(n\ge1\).
Xét hiệu:
\(u_1=5\)
\(u_n-u_{n-1}=3n-5\) \(\left(n\ge2\right)\)
Với \(n\ge2\) thì \(3n-5>0\) nên \(u_n>u_{n-1}\).
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
