Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(x^2-2\left(m+5\right)x+2m+9=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2m-9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2m+9\end{cases}}\)
Thế vô làm nốt
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có :
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1.x_2=-\left(2m+3\right)\end{cases}}\)
Đặt \(A=\left|\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|\ge0\). A đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow A^2\)đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có : \(A^2=\left(\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right)^2=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1.x_2}=\frac{4\left(m+1\right)^2}{4\left(m+1\right)^2+4\left(2m+3\right)}=\frac{4\left(m+1\right)^2}{4m^2+16m+16}=\frac{\left(m+1\right)^2}{\left(m+2\right)^2}\ge0\)
Suy ra \(MinA^2=0\Leftrightarrow m=-1\)
Vậy Min A = 0 \(\Leftrightarrow\)m = -1
ở bài này phải chỉ ra \(\Delta'\)lớn hơn hoặc bằng 0 , hoặc chỉ ra a và c trái dấu nên phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thì mới được áp dụng hệ thức Viét
\(a+b+c=1-2\left(m+3\right)+2m+5=0\)
\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=2m+5\end{matrix}\right.\)
Để 2 nghiệm của pt thỏa mãn yêu cầu của đề bài \(\Rightarrow x_2>0\Rightarrow2m+5>0\Rightarrow m>\dfrac{-5}{2}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2m+5}}=\dfrac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2m+5}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow2m+5=9\Rightarrow m=2\)
\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4\left(-m^2+m-2\right)\)
\(=5m^2-6m+9=5\left(m-\frac{3}{5}\right)^2+\frac{36}{5}>0;\forall m\)
Mặt khác \(-m^2+m-2\ne0;\forall m\Rightarrow\) biểu thức đề bài luôn xác định
\(B=\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^3-6\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)\)
Xét \(A=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{\left(m-1\right)^2-2\left(-m^2+m-2\right)}{-m^2+m-2}=\frac{3m^2-4m+5}{-m^2+m-2}\)
\(\Rightarrow-Am^2+Am-2A=3m^2-4m+5\)
\(\Leftrightarrow\left(A+3\right)m^2-\left(A+4\right)m+2A+5=0\)
\(\Delta=\left(A+4\right)^2-4\left(A+3\right)\left(2A+5\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow7A^2+36A+44\le0\Rightarrow-\frac{22}{7}\le A\le-2\)
Thay vào B:
\(B=A^3-6A\) với \(-\frac{22}{7}\le A\le-2\)
\(B=A^2\left(A+2\right)-2\left(A+1\right)\left(A+2\right)+4\)
Do \(A\le-2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A+2\le0\\\left(A+1\right)\left(A+2\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\le4\)
\(\Rightarrow B_{max}=4\) khi \(A=-2\) hay \(m=1\)
Để pt có 2 nghiệm dương pb:
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=m^2-8m+16>0\\x_1+x_2=m>0\\x_1x_2=2m-4>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>2\\m\ne4\end{matrix}\right.\)
\(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}=2\)
\(\Rightarrow m-2\sqrt{2m-4}=2\)
\(\Rightarrow m-2=2\sqrt{2m-4}\)
\(\Rightarrow m^2-4m+4=8m-16\)
\(\Rightarrow m^2-12m+20=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=10\\m=2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(mx^2+\left(2m-1\right)x+m-2=0\) (1)
a)
- Nếu m = 0 thì (1) ⇔ - x - 2 = 0 ⇔ x = -2
- Nếu m # 0 thì (1) là phương trình bậc 2
Ta có: △1 = (2m-1)2 - 4m(m-2) = 4m + 1
Để (1) có nghiệm ⇔ △1 ≥ 0 ⇔ 4m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ \(-\dfrac{1}{4}\)
Vậy để phương trình có nghiệm thì m ≥ \(-\dfrac{1}{4}\)
b) Với m ≥ \(-\dfrac{1}{4}\) thì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo HT Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{1-2m}{m}\\x_1x_2=\dfrac{m-2}{m}\end{matrix}\right.\)
Theo đầu bài:
x12 + x22 = 2018
⇔ (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 2018
⇔ \(\left(\dfrac{1-2m}{m}\right)^2-2.\dfrac{m-2}{m}=2018\)
⇔ \(\dfrac{4m^2-4m+1}{m^2}-\dfrac{2m-4}{m}=2018\)
⇔ \(\dfrac{4m^2-4m+1-m\left(2m-4\right)}{m^2}=2018\)
⇔ \(\dfrac{4m^2-4m+1-2m^2+4m}{m^2}=2018\)
⇔ 2m2 + 1 = 2018m2
⇔ 2016m2 = 1
⇔ m2 = \(\dfrac{1}{2016}\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}m=\sqrt{\dfrac{1}{2016}}\left(TM\right)\\m=-\sqrt{\dfrac{1}{2016}}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\) ...
Vậy m ∈ \(\left\{\pm\sqrt{\dfrac{1}{2016}}\right\}\)