Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(\Delta=\left(2m+3\right)^2-4\left(m-5\right)=4m^2+8m+4+25\)
\(=4\left(m+1\right)^2+25>0\) \(\forall m\)
Phương trình luôn có 2 nghiệm pb
b/ Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+3\\x_1x_2=m-5\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{2m+3}{m-5}\\\frac{1}{x_1}.\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1x_2}=\frac{1}{m-5}\end{matrix}\right.\) với \(m\ne5\)
Theo định lý Viet đảo, \(\frac{1}{x_1};\frac{1}{x_2}\) là nghiệm của:
\(x^2-\frac{2m+3}{m-5}x+\frac{1}{m-5}=0\Leftrightarrow\left(m-5\right)x^2-\left(2m+3\right)x+1=0\)
Bài 2:
a: \(\text{Δ}=\left(4m+2\right)^2-4\left(4m+3\right)\)
\(=16m^2+16m+4-16m-12=16m^2-8\)
Để phương trình có hai nghiệm thì \(2m^2>=1\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}m>=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\m< =-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)
c: \(A=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)\)
\(=\left(4m+2\right)^3-3\cdot\left(4m+3\right)\left(4m+2\right)\)
\(=64m^3+96m^2+48m+8-3\left(16m^2+20m+6\right)\)
\(=64m^3+96m^2+48m+8-48m^2-60m-18\)
\(=64m^3+48m^2-12m-10\)
Lời giải:
Để PT có hai nghiệm $x_1,x_2$ (chưa quan tâm có phân biệt hay không) thì:
\(\left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ \Delta=(2m-1)^2-4m(m-3)\geq 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ 8m+1\geq 0\Leftrightarrow m\geq \frac{-1}{8}\end{matrix}\right.\)
Khi đó áp dụng hệ thức Viete ta có:
\(\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2=\frac{1-2m}{m}\\
x_1x_2=\frac{m-3}{m}\end{matrix}\right.\)
Khi đó: \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=7\Leftrightarrow \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=7\)
\(\Leftrightarrow \frac{1-2m}{m-3}=7\)
\(( m\neq 3)\Rightarrow 1-2m=7(m-3)\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{22}{9}\) (thỏa mãn)
Vậy \(m=\frac{22}{9}\)
Dùng hệ thức Vi-ét nhé:
Để Pt là pt bậc 2 thì m khác 1
Xét delta rồi tìm điều kiện của m
Áp dụng hề thức Vi-et:
x1+x2=1-2m/m
x1.x2=m-3/m
1/x1+1/x2=x1+x2/x1.x2=1-2m/m-3=7
Rồi tìm m là xong
Lời giải:
Để pt \(x^2-2(m-1)x+m^2-2m=0\) có hai nghiệm thì:
\(\Delta'=(m-1)^2-(m^2-2m)>0\Leftrightarrow 1>0\) (luôn đúng với mọi m)
Khi đó áp dụng hệ thức Viete với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=m^2-2m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4(m-1)^2-2(m^2-2m)\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=2m^2-4m+4\)
\(\Leftrightarrow 8=2m^2-4m+4\Leftrightarrow m^2-2m-2=0\)
\(\Leftrightarrow m=1\pm \sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow x^2+1+3\sqrt{x^2+1}+2m-1=0\) (1)
Đặt \(\sqrt{x^2+1}=t\Rightarrow t\ge1\)
Phương trình trở thành: \(t^2+3t+2m-1=0\) (2)
Để (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có ít nhất 1 nghiệm thỏa mãn \(t\ge1\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow t^2+3t-1=-2m\)
Xét \(f\left(t\right)=t^2+3t-1\) có đồ thị như dưới với \(f\left(1\right)=3\):
Để pt có ít nhất 1 nghiệm \(t\ge1\Leftrightarrow-2m\ge3\Rightarrow m\le-\frac{3}{2}\)
Bài 6
Để phương trình có vô số nghiệm thì
m+n-3=0 và 2m-3n+4=0
=>m+n=3 và 2m-3n=-4
=>m=1; n=2
Lời giải:
Để cho gọn, đặt \(x^2=t(t\geq 0)\)
PT trở thành:
\((m-2)t^2-2(m+1)t+(2m-1)=0(*)\)
a) Để PT đã cho vô nghiệm thì thì \(\Delta'\) âm hoặc \((*)\) có nghiệm âm.
----------------------------
\(\Delta'=(m+1)^2-(m-2)(2m-1)<0\)
\(\Leftrightarrow -m^2+7m-1<0\)
\(\Leftrightarrow m< \frac{7-3\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(m> \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)
PT \((*)\) có nghiệm âm khi mà:
\(\left\{\begin{matrix} \Delta'=-m^2+7m-1\geq 0\\ t_1+t_2=\frac{2(m+1)}{m-2}<0\\ t_1t_2=\frac{2m-1}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}>m\geq \frac{7-3\sqrt{5}}{2}\)
Vậy để PT vô nghiệm thì \(\frac{1}{2}>m\geq \frac{7-3\sqrt{5}}{2}\) , \(m< \frac{7-3\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(m> \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)
b) Để PT đã cho có nghiệm duy nhất thì (*) có nghiệm duy nhất. Với nghiệm \((*)\) thu được duy nhất là \(t=k\geq 0\), nếu \(k\neq 0\Rightarrow \) PT đã cho có 2 nghiệm \(\pm \sqrt{k}\) (không thỏa mãn).
Do đó nếu PT đã cho có nghiệm duy nhất thì nghiệm đó phải là 0
\(\Rightarrow (m-2).0^4-2(m+1).0^2+2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)
Thay vào thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy \(m=\frac{1}{2}\)
c) Để PT đã cho có hai nghiệm thì \((*)\) có duy nhất một nghiệm dương, nghiệm còn lại âm. Khi đó:
\(\Delta'=-m^2+7m-1>0\) (1)
Và: \(t_1t_2<0\Leftrightarrow \frac{2m-1}{m-2}<0\Leftrightarrow \frac{1}{2}< m< 2\) (2)
Kết hợp (1); (2) suy ra \(\frac{1}{2}< m< 2\)
d)
PT ban đầu có ba nghiệm khi mà $(*)$ có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm còn lại là dương.
\((*)\) có nghiệm 0 thì PT ban đầu cũng có nghiệm 0. Theo phần b ta suy ra \(m=\frac{1}{2}\). Thử lại ta thấy với \(m=\frac{1}{2}\) thì PT ban đầu có nghiệm 0 duy nhất. Do đó không tồn tại $m$ để PT có ba nghiệm.
e)
Để PT ban đầu có 4 nghiệm thì $(*)$ có hai nghiệm dương phân biệt. Điều này xảy ra khi mà:
\(\Delta'=-m^2+7m-1>0\) (1)và: \(\left\{\begin{matrix} t_1+t_2=\frac{2(m+1)}{m-2}>0\\ t_1t_2=\frac{2m-1}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m>2\) (2)
Từ (1); (2) suy ra \(2< m< \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)
Giải lại
điều kiện có 2 nghiệm\(\left(1\right)\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\Rightarrow m+2\ne0\Rightarrow m\ne-2\\\Delta>0\Rightarrow\left(2m-1\right)^2-4\left(m+2\right)\left(m-3\right)=25\end{matrix}\right.\)
(2) có nghiệm thỏa mãn x1/x2 =1/2 hoặc x1/x2 =2
Phương trình có nghiệm x=1 với mọi m khác -2
\(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{m-3}{m+2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow2m-3=m+2\Rightarrow m=8\\\dfrac{m-3}{m+2}=2\Rightarrow m-3=2m+4\Rightarrow m=-7\end{matrix}\right.\)
Kết luân
m= 8 hoặc m =-7
Lời giải
(1)Điều kiện có 2 nghiệm\(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\Rightarrow m+2\ne0\\\Delta>0\Rightarrow\left(2m-1\right)^2-4\left(m+2\right)\left(m-3\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-2\\\left(4m^2-4m+1\right)-4m^2+4m+24=25\end{matrix}\right.\) (1) \(\Leftrightarrow m\ne-2\)
(2) \(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{x_1}{x_2}=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m-1-5}{2\left(m+2\right)}=\dfrac{m-3}{n+2}\\x_2=\dfrac{2m-1+5}{2\left(m+2\right)}=\dfrac{m+2}{2\left(m+2\right)}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{m-3}{m+2}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{m-3}{m+2}=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m-3.2=m+2\\m-3=m+2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=8\)
Kết luận : m=8