Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow2m.2^x+\left(2m+1\right)\left(3-\sqrt{5}\right)^x+\left(3+\sqrt{5}\right)^x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x+\left(2m+1\right)\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x+2m< 0\)
Đặt \(t=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x,0< t\le1\Rightarrow\frac{1}{t}=\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x\)
Phương trình trở thành :
\(t+\left(2m+1\right)\frac{1}{t}+2m=0\) (*)
a. Khi \(m=-\frac{1}{2}\) ta có \(t=1\) suy ra \(\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x=1\Leftrightarrow x=0\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=0\)
b. Phương trình (*) \(\Leftrightarrow t^2+1=-2m\left(t+1\right)\Leftrightarrow\frac{t^2+1}{t+1}=-2m\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^2+1}{t+1};t\in\)(0;1]
Ta có : \(f'\left(t\right)=\frac{t^2+2t+1}{\left(t+1\right)^2}\Rightarrow f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow=-1+\sqrt{2}\)
t f'(t) f(t) 0 1 0 - + 1 1 -1 + căn 2 2 căn 2 - 2
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm đúng
\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}-2\le-2m\le1\Leftrightarrow\sqrt{2}-1\ge m\ge-\frac{1}{2}\)
Vậy \(m\in\left[-\frac{1}{2};\sqrt{2}-1\right]\) là giá trị cần tìm
a, ĐK: \(x\le-1,x\ge3\)
\(pt\Leftrightarrow2\left(x^2-2x-3\right)+\sqrt{x^2-2x-3}-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x^2-2x-3}+3\right).\left(\sqrt{x^2-2x-3}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-2x-3}=-\dfrac{3}{2}\left(l\right)\\\sqrt{x^2-2x-3}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-3=1\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-4=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{5}\left(tm\right)\)
b, ĐK: \(-2\le x\le2\)
Đặt \(\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=t\Rightarrow t^2=10-3x-4\sqrt{4-x^2}\)
Khi đó phương trình tương đương:
\(3t-t^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=0\\\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2+x=8-4x\\2+x=17-4x+12\sqrt{2-x}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{6}{5}\left(tm\right)\\5x-15=12\sqrt{2-x}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Vì \(-2\le x\le2\Rightarrow5x-15< 0\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\dfrac{6}{5}\)
\(\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=a\) (1)
Điều kiện :
\(\begin{cases}1+x\ge0\\8-x\ge0\\\left(1+x\right)\left(8-x\right)\ge0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x\ge-1\\x\le8\\-1\le x\le8\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(x\in\left[-1;8\right]\) : = (*)
Đặt \(t=\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}\) với điều kiện \(x\in\) (*) ta có
\(\begin{cases}t\ge0\\t^2=1+x+8-x+2\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}\end{cases}\)
\(\Rightarrow\) \(\begin{cases}t\ge0\\9\le t^2\le9+\left(1+x+8-x\right)=18\end{cases}\)
\(\Rightarrow\) \(t\in\left[3;3\sqrt{2}\right]\) : = (*1)
Ngoài ra, từ đó còn có \(\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=\frac{t^2-9}{2}\)
Phương trình (1) trở thành
\(f\left(t\right)=\frac{1}{2}\left(t^2+2t-9\right)=a\) (2)
1) Với a=3 ta có :
(2) \(\Leftrightarrow\) \(t^2+2t-15=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}t=3\\t=-5\end{cases}\)
Trong 2 nghiệm trên, chỉ có t =3 thuộc (*1) nên với a=3 ta có
(1) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=\frac{3^2-9}{2}=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=-1\\x=8\end{cases}\)
Hai nghiệm này cùng thuộc (*) như vậy khi a=3, phương trình đã cho có 2 nghiệm x=-1 và x=8
2)Nhận thấy phương trình (1) có nghiệm \(x\in\) (*) khi và chỉ khi phương trình (2)
có nghiệm t\(\in\) (*1) hay là khi và chỉ khi đường thẳng y=a (vuông góc với y'Oy) có điểm ching với phần đồ thị hàm số y=f(t) vẽ trên ( *1).
Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(t) trên (*1) với nhận xét rằng f'(t) = t+1>0, mọi t \(x\in\) (*)
| t | \(-\infty\) 3 \(3\sqrt{2}\) \(+\infty\) |
| f'(t) | + |
| f (t) | \(\frac{9+6\sqrt{2}}{2}\) 3 |
Từ nhận xét trên và từ bảng biến thiên, ta được \(3\le a\le\frac{9+6\sqrt{2}}{2}\) là giá trị cần tìm
1) ĐK: \(x\ge-1\)
\(\sqrt{9x^2+9x+4}>9x+3-\sqrt{x+1}\)
<=> \(\sqrt{9x^2+9x+4}+\sqrt{x+1}>9x+3\)(1)
TH1: 9x + 3 \(\le\)0 <=> x\(\le-\frac{1}{3}\)
(1) luôn đúng
Th2: x\(>-\frac{1}{3}\)
<=> \(\left(\frac{1}{2}x+1-\sqrt{x+1}\right)+\left(\frac{17}{2}x+2-\sqrt{9x^2+9x+4}\right)< 0\)
<=> \(\frac{\frac{1}{4}x^2}{\frac{1}{2}x+1+\sqrt{x+1}}+\frac{\frac{253}{4}x^2}{\frac{17}{2}x+2+\sqrt{9x^2+9x+4}}< 0\)
<=> \(\frac{x^2}{4}\left(\frac{1}{\frac{1}{2}x+1+\sqrt{x+1}}+\frac{253}{\frac{17}{2}x+2+\sqrt{9x^2+9x+4}}\right)< 0\)vô nghiệm
Vì với x \(>-\frac{1}{3}\):
ta có: \(\frac{1}{2}x+1+\sqrt{x+1}>0\)
\(\frac{17}{2}x+2+\sqrt{9x^2+9x+4}=\frac{17}{2}x+2+\sqrt{3\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}>\frac{17}{2}x+2+1>0\)
=> \(\left(\frac{1}{\frac{1}{2}x+1+\sqrt{x+1}}+\frac{253}{\frac{17}{2}x+2+\sqrt{9x^2+9x+4}}\right)>0\)với x \(>-\frac{1}{3}\) và \(x^2\ge0\)với mọi x
=> \(\frac{x^2}{4}\left(\frac{1}{\frac{1}{2}x+1+\sqrt{x+1}}+\frac{253}{\frac{17}{2}x+2+\sqrt{9x^2+9x+4}}\right)\ge0\)với x\(>-\frac{1}{3}\)
Vậy \(x< -\frac{1}{3}\)
Xin lỗi bạn kết luận bài 1 là:
\(-1\le x\le-\frac{1}{3}\)
Bài 2) \(2+\sqrt{x+2}-x\sqrt{x+2}=x\left(\sqrt{x+2}-x\right)\)(2)
ĐK: \(x\ge-2\)
(2) <=> \(2+\sqrt{x+2}+x^2-2x\sqrt{x+2}=0\)
<=> \(8+4\sqrt{x+2}+4x^2-8x\sqrt{x+2}=0\)
<=> \(\left(2x-1\right)^2-4\left(2x-1\right)\sqrt{x+2}+4\left(x+2\right)-1=0\)
<=> \(\left(2x-1-2\sqrt{x+2}\right)^2-1=0\)
<=> \(\left(x-1-\sqrt{x+2}\right)\left(x-\sqrt{x+2}\right)=0\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}x-1=\sqrt{x+2}\left(3\right)\\x=\sqrt{x+2}\left(4\right)\end{cases}}\)
(3) <=> \(\hept{\begin{cases}x\ge1\\x^2-3x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\left(tm\right)\)
(4) <=> \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x^2-x-2=0\end{cases}\Leftrightarrow}x=2\left(tm\right)\)
Kết luận:...
đó là câu b, câu a là giải phương trình khi m=9
ĐK: \(0\le x\le9\)
Ta có:
\(VT=\sqrt{x}+\sqrt{9-x}>0\)
\(VP=-\sqrt{x^2+9x+m}\le0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình vô nghiệm với mọi m
Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn.