Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
PT $\Leftrightarrow 3\sin x-4\sin ^3x-m(1-2\sin ^2x)-(m+1)\sin x+m=0$
$\Leftrightarrow \sin x[4\sin ^2x-2m\sin x+(m-2)]=0$
Dễ thấy trường hợp $\sin x=0$ ta thu được 2 nghiệm thuộc $(0;3\pi)$
Giờ ta cần tìm $m$ sao cho $4\sin ^2x-2m\sin x+(m-2)=0(*)$ có 6 nghiệm thuộc $(0;3\pi)$. Tất nhiên đảm bảo $\sin x\neq 0$
Đặt $\sin x=t(t\in [-1;1]$) thì PT $(*)$ trở thành:
$4t^2-2mt+(m-2)=0(I)$
$\sin x\neq 0\Leftrightarrow t\neq 0\Rightarrow m\neq 2$
Nếu $t=1$ thì $m=2$ (vô lý) nên $t\neq 1$)
Vậy $t\in [-1;1)$ và $t\neq 0$
$\Delta'_{(I)}=m^2-4(m-2)=(m-2)^2+4>0$ nên pt $(I)$ luôn có 2 nghiệm $t_1,t_2$ phân biệt.
Bây giờ bạn vẽ đồ thị hàm sin ra.
Nếu $t_1,t_2\in (0;1)$ thì ứng với mỗi $t$ ta có 4 nghiệm $x$ thỏa mãn
$\Rightarrow (*)$ có 8 nghiệm (loại)
Nếu $t_1,t_2\in [-1;0)$ thì ứng với mỗi $t$ ta có nhiều nhất $2$ nghiệm $x$ thỏa mãn
$\Rightarrow (*)$ có nhiều nhất 4 nghiệm (loại)
Nếu $t_1\in (0;1)$ và $t_2\in (-1;0)$ thì đảm bảo $(*)$ có 6 nghiệm.
$\Leftrightarrow 1>t_1>0>t_2>-1$
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} t_1t_2< 0\\ (t_1+1)(t_2+1)>0\\ (t_1-1)(t_2-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t_1t_2< 0\\ t_1t_2+(t_1+t_2)+1>0\\ t_1t_2-(t_1+t_2)+1>0\end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{m-2}{4}< 0\\ \frac{m-2}{4}+\frac{m}{2}+1>0\\ \frac{m-2}{4}-\frac{m}{2}+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2> m> \frac{-2}{3}\)
bạn ơi mình giải ra \(-1< m\le\frac{1}{2}\) thì cũng có 6no là sai hả bạn
\(\Leftrightarrow2\left(cos^2x-sin^2x\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2cosx-2sinx\right)\left(sinx+cosx\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\left(\text{vô nghiệm trên đoạn xét}\right)\\2cosx-2sinx+sinx.cosx=m\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1), đặt \(t=cosx-sinx=\sqrt{2}cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\in\left[-1;1\right]\\sinx.cosx=\dfrac{1-t^2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2t+\dfrac{1-t^2}{2}=m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}t^2+2t+\dfrac{1}{2}\) trên \(\left[-1;1\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=2\notin\left[-1;1\right]\) ; \(f\left(-1\right)=-2\) ; \(f\left(1\right)=2\)
\(\Rightarrow-2\le f\left(t\right)\le2\Rightarrow-2\le m\le2\)
1/ ĐKXĐ: \(\cos2x\ne0\)
\(\frac{\cos4x}{\cos2x}=\frac{\sin2x}{\cos2x}\)\(\Leftrightarrow\cos4x-\sin2x=0\)
\(\Leftrightarrow2\cos^22x-1-\sin2x=0\)
\(\Leftrightarrow2-2\sin^22x-1-\sin2x=0\)
\(\Leftrightarrow2\sin^22x+\sin2x-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin2x=\frac{1}{2}=\sin\frac{\pi}{6}\\\sin2x=-1=\sin\frac{-\pi}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\2x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\\2x=\frac{-\pi}{2}+2k\pi\left(l\right)\\2x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{12}+k\pi\\x=\frac{5\pi}{12}+k\pi\end{matrix}\right.\)
2/ \(\sin2.4x+\cos4x=1+2\sin2x.\cos\left(2x+4x\right)\)
\(\Leftrightarrow2\sin4x.\cos4x+\cos4x=1+2\sin2x.\left(\cos2x.\cos4x-\sin2x.\sin4x\right)\)
\(\Leftrightarrow2\sin4x.\cos4x+\cos4x=1+2\sin2x.\cos2x.\cos4x-2\sin^22x.\sin4x\)
\(\Leftrightarrow2\sin4x.\cos4x+\cos4x=1+\sin4x.\cos4x-\sin4x+\cos4x.\sin4x\)
Đến đây bn tự giải nốt nhé, lm kiểu bthg thôi bởi vì đã quy về hết sin4x và cos4x r
Bài này sử dụng kiến thức 12 thì rất dễ chứ lớp 11 thì đúng là chẳng biết biện luận thế nào
\(\Leftrightarrow\left(1-sinx\right)\left(cos2x+3msinx+sinx-1\right)=m\left(1-sinx\right)\left(1+cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\\cos2x+3m.sinx+sinx-1=m\left(1+sinx\right)\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Bài toán thỏa mãn khi (1) có 5 nghiệm khác nhau trên khoảng đã cho thỏa mãn \(sinx\ne1\)
Xét (1):
\(\Leftrightarrow1-2sin^2x+3msinx+sinx-1=m+m.sinx\)
\(\Leftrightarrow2sin^2x-sinx-2m.sinx+m=0\)
\(\Leftrightarrow sinx\left(2sinx-1\right)-m\left(2sinx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2sinx-1\right)\left(sinx-m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\\sinx=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) có 3 nghiệm khác nhau trên \(\left(-\dfrac{\pi}{2};2\pi\right)\)
\(\Leftrightarrow-1< m< 0\)