Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1996}+\frac{1}{1997}+\frac{1}{1998}=\left(1+\frac{1}{1998}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{1997}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{1996}\right)+...+\left(\frac{1}{999}+\frac{1}{1000}\right)\)
\(=\frac{1999}{1998}+\frac{1999}{2.1997}+\frac{1999}{3.1996}+...+\frac{1999}{999.1000}=1999.\left(\frac{1}{1998}+\frac{1}{2.1997}+...+\frac{1}{999.1000}\right)⋮1999\)
\(\Rightarrow\frac{m}{n}⋮1999\Rightarrow m⋮1999\)
BTTQ: Nếu \(\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k}\left(k\inℕ^∗\right)\)thì m\(⋮\left(k+1\right)\)
Ta có : \(\frac{m}{n}\)= \(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{1998}\)
= ( 1 + 1/1998 ) + ( 1/2 + 1/1997 ) + ... + ( 1/99 + 1/1000 )
= \(\frac{1999}{1998}+\frac{1999}{2.1997}+...+\frac{1999}{999.1000}\)
= \(\frac{1999.\left(a_1+a_2+...+a_{1999}\right)}{1.2.3....1998}\)( a1 ; a2 ; ... là các thừa số phụ tương ứng của các phân số )
= \(\frac{1999.\left(a_1+a_2+...+a_{1999}\right)}{1.2.3....1998}\)=> tử \(⋮\)1999
Vì 1999 là số nguyên tố mà n k có thừa số 1999 => n ko chia hết cho 1999 . Dù rút gọn về phân số tối giản thì tử \(⋮\)1999 hay m \(⋮\)1999
Do đó dạng tổng quát là :
m/n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k => m \(⋮\)k ( k thuộc N* )
Ta có:
\(\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1998}\)
\(=\left(1+\frac{1}{1998}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{1997}\right)+...+\left(\frac{1}{999}+\frac{1}{1000}\right)\)
\(=\frac{1999}{1.1998}+\frac{1999}{2.1997}+...+\frac{1999}{999.100}\)
Quy đồng phân số, ta chọn Mẫu chung la : 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 1997 x 1998
Gọi các thừa số phụ tương ứng là a1, a2, a3, ..., a999
\(\frac{m}{n}=\frac{1999\left(a1+a2+a3+...+a999\right)}{1.2.3.4.....1997.1998}\)
Do 1999 là số nguyên tố. Sau khi rút gọn vẫn còn thừa số 1999 suy ra m chia hết cho 1999
Bài 3:
a,Đặt A = \(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}\)
A = \(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2^6}\)
2A = \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^5}\)
2A + A = \(\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^5}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2^6}\right)\)
3A = \(1-\frac{1}{2^6}\)
=> 3A < 1
=> A < \(\frac{1}{3}\)(đpcm)
b, Đặt A = \(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
3A = \(1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{4^3}+...+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)
3A + A = \(\left(1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{4^3}+...+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\right)\)
4A = \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
=> 4A < \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\) (1)
Đặt B = \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\)
3B = \(3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{97}}-\frac{1}{3^{98}}\)
3B + B = \(\left(3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{97}}-\frac{1}{3^{98}}\right)+\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\right)\)
4B = \(3-\frac{1}{3^{99}}\)
=> 4B < 3
=> B < \(\frac{3}{4}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4A < B < \(\frac{3}{4}\)=> A < \(\frac{3}{16}\)(đpcm)
m/n=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6
m/n=(1+1/6)+(1/2+1/5)+(1/3+1/4)
m/n=7/6+7/5+7/4
m/n=7x(1/6+1/5+1/4)
m/n=7x(4x5/4x5x6 + 4x6/4x5x6 + 5x6/4x5x6)
m/n=7x(4x5+4x6+5x6/4x5x6)
Vì 7 là số nguyên tố mà tích 4x5x6 ko chứa thừa số nguyên tố 7 nên đến khi rút gọn thì m vẫn chia hết cho 7.
tích nha
Thanh Thảo Michiko_BGSnhóm nữ năng động
m/n=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6
m/n=(1+1/6)+(1/2+1/5)+(1/3+1/4)
m/n=7/6+7/5+7/4
m/n=7x(1/6+1/5+1/4)
m/n=7x(4x5/4x5x6 + 4x6/4x5x6 + 5x6/4x5x6)
m/n=7x(4x5+4x6+5x6/4x5x6)
Vì 7 là số nguyên tố mà tích 4x5x6 ko chứa thừa số nguyên tố 7 nên đến khi rút gọn thì m vẫn chia hết cho 7.