Question

[Angela jolie]

Cho Parabol (P): y=-x² và đường thẳng d: y=2mx-1 với m là tham số.

a) Tìm tọa độ giao điểm d và (P) khi m=1.

b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y₁, y₂ là tung độ của A, B. Tìm m sao cho | y₁² - y₂²|=3√5.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a/ Người đọc tự giải

b/ Phương trình hoành độ giao điểm:

\(-x^2=2mx-1\Leftrightarrow x^2+2mx-1=0\)

\(ac=-1< 0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m hay d luôn cắt (p) tại 2 điểm phân biệt

Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

\(\left|y_1^2-y_2^2\right|=3\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left(y_1+y_2\right)^2\left(y_1-y_2\right)^2=45\)

\(\Leftrightarrow\left(2m\left(x_1+x_2\right)-2\right)^2\left(2m\left(x_1-x_2\right)\right)^2=45\)

\(\Leftrightarrow\left(4m^2+2\right)^2.4m^2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\right]=45\)

\(\Leftrightarrow\left(4m^2+2\right)^2.4m^2\left(4m^2+4\right)=45\)

Đặt \(4m^2+2=t\ge2\)

\(t^2\left(t-2\right)\left(t+2\right)=45\)

\(\Leftrightarrow t^2\left(t^2-4\right)-45=0\)

\(\Leftrightarrow t^4-4t^2-45=0\Rightarrow t^2=9\Rightarrow t=3\)

\(\Rightarrow4m^2+2=3\Rightarrow m=\pm\frac{1}{2}\)