Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
P là số nguyên tố và p>3 => p+5, p+7 là sô chẵn đặt p+5=2k=> p+7=2k+2=>(p+5)(p+7)= 2k(2k+2)= 2k2(k+1)= 4k(k+1) chia hết cho 8
( vì k(k+1) chia hết cho 2 với mọi k thuộc n)
P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3n+1 hoặc 3n+2
. Xét P= 3n+1=> (p+5)(p+7)= (3n+6)(3n+8) chia hết cho 3 với mọi n thuộc N
. xét p=3n+2=> (p+5)(p+7)= (3n+7)(3n+9) chia hét cho 3 với mọi n thuộc N
(p+5)(p+7) chia hết cho 8 và 3=> (p+5)(p+7) chia hết cho 24
cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.chứng minh (p+5)(p+7) chia hết cho 24
các bạn giải hộ mình vs
Bài này chỉ sử dụng nhận xét này là xong
Nhận xét: Số chính phương chỉ chia ba dư 0 hoặc 1
Chứng minh như sau:
Xét số tự nhiên p, ta thấy p chỉ có 3 dạng p=3k,p=3k+1,p=3k+2 với k là số tự nhiên
Nếu p=3k thì p2=9k2 chia hết cho 3
Nếu p=3k+1 thì p2=(3k+1)2=(3k+1)(3k+1)=9k2+6k+1 chia 3 dư 1
Nếu p=3k+2 thì p2=(3k+2)2=(3k+2)(3k+2)=9k2+12k+4 chia 3 dư 1
Thế cho nên với p là số tự nhiên bất kì thì p2 chia 3 dư 1 hoặc 0
Bước chứng minh hoàn tất
Bây giờ áp dụng vào bài toán
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3
Vậy theo nhận xét vừa rồi ta có p2 chia 3 dư 1 (vì p không chia hết cho 3)
Do đó p2-1 chia hết cho 3
À mà mình có cách này ngắn hơn cách trước
Ta có bước phân tích sau:p2-1=(p2+p)+(-p-1)=p(p+1)-(p+1)=(p+1)(p-1)
Vậy thì p2-1=(p+1)(p-1)
Nhân p vào hai vế ta được p(p2-1)=(p-1)p(p+1)
Lúc này ta có (p-1),p,(p+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp
Thế cho nên có ít nhất một số chia hết cho 3 trong ba số trên
Do đó (p-1)p(p+1) chia hết cho 3
Do đó p(p2-1) chia hết cho 3
Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên hiển nhiên không chia hết cho 3
Vậy p2-1 chia hết cho 3
a
\(A=2+2^2+2^3+.....+2^{30}\)
\(A=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^3\right)+.....+2^{28}\left(1+2+2^2\right)\)
\(A=2\cdot7+2^4\cdot7+....+2^{28}\cdot7⋮7\)
b
Câu hỏi của Bùi Minh Quân - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
\(a.pnto>3\\ \Rightarrow pko⋮3\\ \Rightarrow p^2:3duw1\\ \Rightarrow p^2-1⋮3\left(hs\right)\)
b.
Ta thấy x = 0 hoặc y=0
x=0=>
y=0=>
tự tìm
p là số nguyên tố > 3 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2
Nếu p=3k+1=>P-1=3k chia hết cho 3
nếu p=3k+2=>p+1 chia hết cho 3
Vậy (p-1)(p+1) luôn chia hết cho 3
Vì p là số nguyên tố >3 nên p là số lẻ -> p-1 và p+1 là 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp
Trong 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp phải có 1 số chia hết cho 4
số còn lại chia hết cho 2 -> (p-1)(p+1) chia hết cho 8
Vậy (p+1)(p-1) chia hết cho 24 với p là số ng tố >3
.p4−q4=p4−q4−1+1=(p4−1)−(q4−1)
lại có 240=8.2.3.5
ta cần chứng minh (p4−1) ⋮ 240 và (q4−1) ⋮ 240
C/m: (p4−1) ⋮ 240:
(p4−1)=(p−1)(p+1)(p2+1)
vì p là số nguyến tố lớn hơn 5 nên p là số lẻ
⟹(p−1)(p+1) là tích của 2 số lẻ liên tiếp nên chia hết cho 8 (1)
Do p>5 nên:
p=3k+1→p−1=3k→p−1 ⋮ 3
hoặc p=3k+2→p+1=3(k+1)→p+1 ⋮ 3 (2)
mặt khác vì p là số lẻ nên p2 là số lẻ →p2+1 là số chẵn nên p2+1 ⋮ 2 (3)
giờ cần chứng minh p4−1 ⋮ 5:
p có thể có dạng:
p=5k+1→p−1 ⋮ 5
p=5k+2→p2+1=25k2+20k+5→p2+1 ⋮ 5
p=5k+3→p2+1=25k2+30k+10→p2+1 ⋮ 5
p=5k+4→p+1=5k+5→p+1 ⋮ 5
p=5k mà p là số nguyến tố nên k=1→p=5 (ko thỏa mãn ĐK)
⟹p4−1 ⋮ 5 (4)
từ (1),(2),(3),(4), suy ra p4−1 chia hết cho 2.3.5.8 hay p4−1 ⋮ 240
chứng minh tương tự, ta có: q4−1 ⋮ 240
Kết luận.......................
p là số nguyên tố lớn hơn 3
=>(p=3k+1 hoặc p=3k+2 ) và p lẻ
p lẻ nên p=2a+1
\(p^2-1=\left(2a+1\right)^2-1=\left(2a+1-1\right)\left(2a+1+1\right)\)
\(=2a\left(2a+2\right)=4a\left(a+1\right)\)
Vì a;a+1 là hai số nguyên liên tiếp
nên \(a\left(a+1\right)⋮2\)
=>\(4a\left(a+1\right)⋮4\cdot2=8\)
=>\(p^2-1⋮8\)(4)
TH1: p=3k+1
\(p^2-1=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)\)
\(=3k\left(3k+2\right)⋮3\)(1)
TH2: p=3k+2
\(p^2-1=\left(3k+2\right)^2-1\)
\(=\left(3k+2+1\right)\left(3k+2-1\right)\)
\(=\left(3k+3\right)\left(3k+1\right)=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)⋮3\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(p^2-1⋮3\left(3\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(p^2-1⋮BCNN\left(3;8\right)\)
=>\(p^2-1⋮24\)