Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A C D K B O H I M N C' I' D'
a) +) Gọi I là trung điểm của CD; CD là dây cung của (O) => OI vuông góc với CD
Mà AH | CD; BK | CD => OI // AH // BK
Hình thang AHKB có OI // AH // BK; O là trung điểm của AB => I là trung điểm HK => IH = IK
Mà IC = ID (Vì I là trung điểm của CD)
=> IH - IC = IK - ID => CH = DK
b) Qua I kẻ d // AB cắt AH; BK lần lươt tại M ; N
+) Chứng minh S(IMH) = S(INK):
Tam giác IMH và INK có: góc IHM = IKN (= 90o) ; IH = IK; góc HIM = KIN (đối đỉnh)
=> tam giác IMH = INK (g- c- g)
=> S(IMH) = S(INK)
Mà có: S(AHKB) = S(AHINB) + S(INK); S(AMNB) = S(AHINB) + S(IMH)
=> S(AHKB) = S(AMNB) (1)
Kẻ CC'; II'; DD' vuông góc với AB
+) Dễ có: Tứ giác AMNB là hình bình hành (MN // AB; AM // BN) => S(AMNB) = II'. AB (2)
+) Ta có CC' // DD' => T/g C'CDD' là hình thang
Lại có II' // CC' // DD' và I là trung điểm của CD => I' là trung điểm của C'D'
=> II' là đường trung bình của hình thang C'CDD' => II' = (CC" + DD')/ 2
+) S(ACB) = CC'. AB / 2 ; S(ADB) = DD'.AB / 2 => S(ACB) + S(ADB) = (CC' + DD').AB / 2 = II'.AB (3)
Từ (1)(2)(3) => S(AHKB) = S(ACB) + S(ADB)
c) Theo câu b) S(AHKB) = II'.AB = 30. II'
Xét tam giác vuông OII': II' < OI => S(AHKB) < 30.OI
AB = 30 => OC = AB /2 = 15
OI2 = OC2 - CI2 = 152 - 92 = 144 => OI = 12
=> S(AHKB) < 30.12 = 360
Vậy Smax (AHKB) = 360
a) Ta thấy OI//AH//BK \(\left(\perp CD\right)\).
Xét hình thang ABKH (AH//BK), O là trung điểm AB. OI//AH \(\left(I\in HK\right)\) nên I là trung điểm HK.
b) Hạ \(CP\perp AB\) tại P, \(DQ\perp AB\) tại Q. Khi đó IE//CP//DQ \(\left(\perp AB\right)\).
Xét hình thang CDQP (CP//DQ) có I là trung điểm CD (hiển nhiên), IE//CP và \(E\in PQ\) nên IE là đường trung bình của hình thang CDQP \(\Rightarrow IE=\dfrac{CP+DQ}{2}\)
Lại có \(S_{ACB}=\dfrac{1}{2}AB.CP\), \(S_{ADB}=\dfrac{1}{2}.AB.DQ\)
\(\Rightarrow S_{ACB}+S_{ADB}=AB.\dfrac{CP+DQ}{2}=AB.IE\) (đpcm)
c) Ta có \(S_{AHKB}=\dfrac{AH+BK}{2}.HK=OI.HK\)
Do dây CD có độ dài không đổi nên khoảng cách từ O đến dây CD là OI cũng không đổi. Như vậy ta chỉ cần tìm vị trí của C để HK lớn nhất.
Thật vậy, dựng hình bình hành ABLH. Khi đó vì BK//AH nên \(L\in BK\). Đồng thời ta luôn có \(HK\le HL=AB\), suy ra \(S_{AHKB}\le OI.AB\).
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow HK=HL\) \(\Leftrightarrow K\equiv L\) \(\Leftrightarrow\) AHKB là hình bình hành \(\Leftrightarrow\) HK//AB hay CD//AB \(\Rightarrow OI\perp AB\). Vậy C là điểm sao cho \(OI\perp AB\).
(Nếu muốn tìm cụ thể vị trí của C, thì mình nói luôn nó là điểm C sao cho \(sđ\stackrel\frown{AC}=180^o-2arc\cos\left(\dfrac{CD}{AB}\right)\) nhé. Chứng minh cái này dễ, mình nhường lại cho bạn.)
Chỗ vị trí C mình sửa lại là \(sđ\stackrel\frown{AC}=90^o-arc\sin\dfrac{CD}{AB}\) nhé.