Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B P S D C M E F O H K
a) Ta thấy 2 tiếp tuyến tại M và B của đường tròn (O) giao nhau tại D => ^OMD=^OBD=900
=> Tứ giác MOBD nội tiếp đường tròn => ^ODM=^OBM (Cùng chắn cung OM) (1)
Ta có: ^CAM + ^MAB = 900. Mà ^MAB + ^OBM = 900 => ^CAM=^OBM (2)
Từ (1) và (2) => ^CAM=^ODM (đpcm).
b) Gọi giao điểm của tia FE là tia AB là S. Ta sẽ đi chứng minh S trùng với P.
Thật vậy: Ta gọi giao điểm của SM với AF và BE lần lượt là H và K.
Dễ thấy: BE // AF (Quan hệ song song vuông góc)
Áp dụng hệ quả ĐL Thales, ta có các tỉ số sau: \(\frac{EK}{AH}=\frac{BE}{AF}=\frac{SB}{SA};\frac{BK}{AH}=\frac{SB}{SA}\)
\(\Rightarrow\frac{EK}{AH}=\frac{BK}{AH}\Rightarrow EK=BK\)
=> K là trung điểm của BE (3)
Lại có: DB và DM là 2 tiếp tuyến của (O) => DB=DM => \(\Delta\)MDB cân đỉnh D
=> ^DBM=^DMB. Do ^DMB + ^DME = 900 => ^DBM + ^DME = 900
Mà ^DBM + ^DEM = 900 => ^DEM=^DME => \(\Delta\)EDM cân tại D => DE=DM
Mà DB=DM (cmt) => DE=DB => D là trung điểm của EB (4)
Từ (3) và (4) => D trùng với K. Tương tự ta chứng minh được C trùng với H.
=> 3 điểm C;D;S thẳng hàng => CD cắt AB tại S
Theo giả thiết: CD giao AB tại P => S trùng với P
Mà tia FE đi qua điểm S => FE đi qua điểm P => 3 điểm E;F;P thẳng hàng (đpcm).
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp EOF, C và D lần lượt là tiếp điểm của (I) với OE và OF
Tứ giác ICOD là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
Mà \(IC=ID=r\Rightarrow ICOD\) là hình vuông
\(S_{IEF}+S_{IEO}+S_{IFO}=\dfrac{1}{2}\left(IG.EF+IC.EO+ID.FO\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}r\left(EF+EO+FO\right)\) (do \(IG=IC=ID=r\))
\(=S_{OEF}=\dfrac{1}{2}OM.EF=\dfrac{1}{2}R.EF\)
\(\Rightarrow\dfrac{r}{R}=\dfrac{EF}{EF+OE+OF}>\dfrac{EF}{EF+EF+EF}=\dfrac{1}{3}\)
(do tam giác OEF vuông nên \(OE< EF;OF< EF\))
