Question

[Cô Hoàng Huyền]

Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB = 2R$, dây $AC$ và tia tiếp tuyến $Bx$ nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa nửa đường tròn. Tia phân giác của góc $CAB$ cắt dây $BC$ tại $F$, cắt nửa đường tròn tại $H$, cắt $Bx$ ở $D$.

a) Chứng minh $FB = DB$ và $HF = HD$.

b) Gọi $M$ là giao điểm của $AC$ và $Bx$. Chứng minh $AC.AM = AH.AD$.

 c) Tính tích $AF.AH + BF.BC$ theo bán kính $R$ của đường tròn $(O)$.

Answer 1

[Phạm Yến Nhi]

a) Vì AD là tia phân giác của góc CAB⇒góc CAH= góc HAB

mà góc CAH là góc nội tiếp chắn cung CH

      góc HAB là góc nội tiếp chắn cung HB

⇒ cung CH=cung HB

Ta có: góc HBC là góc nội tiếp chắn cung CH

          góc HBD là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung HB

⇒ góc HBC = góc HBD

lại có: góc AHB chắn nửa (O)⇒góc AHB=90^o⇒AH\(\perp\)HB

Xét ΔFBD có: BH là đường cao đồng thời là đường phân giác

⇒ΔFBD cân tại B⇒FB=DB

Và BH là đường trung tuyến ⇒FH=FD

b)Ta có: góc ACB là góc nội tiếp chắn nửa (O)

⇒ góc ACB= 90^o

Xét ΔABM vuông tại B có BC là đường cao ứng với cạnh huyền AM 

AC.AM=AB² ( hệ thức lượng trong Δ vuông ) (1)

Xét ΔABD vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền AD

AH.HD=AB² ( hệ thức lượng trong Δ vuông ) (2)

Từ(1) và(2)⇒AC.AM=AH.HD

Answer 2

[Nguyễn Hữu Khiêm]

a)  vì góc CAH= góc HAB( AH là p/g của góc CAB)

=> cung CH= cung BH

Ta có : sđ góc CBH=1/2 sđ cung CH( góc nt chắn cung CH) => góc CBH=1/2 cung BH (1)

          sđ góc HBM=1/2 sđ cung BH ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BH) (2)

Từ 1 và 2 => góc CBH= góc HBM => CH là p/g của góc FBD

xét △ BDF có: CH là p/g của góc FBD

Mà BH còn là đường trung trực của FD( góc ABH chắn nửa đường tròn)

=>△BDF cân tại B => FB=DB : HF=HD

b) xét △ABM vuông tại B có: AC.AM=AB bình( hệ thức lượng trong tam giác vuông) (3)

          △ABD vuông tại B có: AH.AD=AB bình( hệ thức lượng trong tam giác vuông) (4)

từ 3 và 4 => AC.AM=AH.AD_đpcm