Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với n = 2 thì \(\frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}\)
Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k
=> \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{K}}>\sqrt{K}\)
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k+1
Ta có \(\frac{1}{\sqrt{1}}+...+\frac{1}{\sqrt{K}}+\frac{1}{\sqrt{K+1}}>\sqrt{K}+\frac{1}{\sqrt{K+1}}\)
= \(\frac{1+\sqrt{K^2+K}}{\sqrt{K+1}}\)
Mà ta lại có
\(\frac{1+\sqrt{K^2+K}}{\sqrt{K+1}}-\sqrt{K+1}\)
= \(\frac{\sqrt{K^2+K}-K}{\sqrt{K+1}}>0\)
Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1
=> Điều phải chứng minh
Ta có \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{n}};\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{n}};\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{n}};...\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n}}.n=\sqrt{n}\)
- Ta xét : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(n+1\right)-n}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< 2\sqrt{n+1}-2\)
- Ta xét : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{n-\left(n-1\right)}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)< 2\sqrt{n}\) ;
a, Chắc xét hàm số tổng quát!
Xét hàm số tổng quát:
\(\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\dfrac{\sqrt{k}}{k\left(k+1\right)}=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}\right)\)
\(=\sqrt{k}\left[\sqrt{\dfrac{1}{k}}^2-\sqrt{\dfrac{1}{k+1}}^2\right]\)
\(=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
\(=\left(1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
Vì \(\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 1\Rightarrow1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 2\)
Do đó \(\left(1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)< 2.\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\) (1)
Áp dụng điểu (1) ta được:
\(\dfrac{1}{2}< 2\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
\(\dfrac{1}{3\sqrt{2}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
...................................
\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+....+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+....+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Với mọi giá trị của \(n>0\) ta luôn có: \(\sqrt{n+1}>0\)
Do đó \(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\) (đpcm)