Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2013}=a\\\sqrt{x-2014}=b\end{cases}}\)
Thì ta có:
\(\frac{\sqrt{x-2013}}{x+2}+\frac{\sqrt{x-2014}}{x}=\frac{a}{a^2+2015}+\frac{b}{b^2+2014}\)
\(\le\frac{a}{2a\sqrt{2015}}+\frac{b}{2b\sqrt{2014}}=\frac{1}{2\sqrt{2015}}+\frac{1}{2\sqrt{2014}}\)
2/ \(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)
\(=\frac{3}{4}\)
Đây nhé
Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2c+b+a=2c+z\\y+z=2a+b+c=2a+x\\x+z=2b+a+c=2b+y\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y-z}{2}=c;\frac{y+z-x}{2}=a;\frac{x+z-y}{2}=b\)
Thay vào PT đã cho ở đề bài , ta có :
\(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)
( cái này cô - si cho x/y + /x ; x/z + z/x ; y/z + z/y)
Bài 2: Ta có 2 đẳng thức ngược chiều: \(\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\ge8;\frac{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^3}\le8\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+\frac{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^3}\)\(\ge2\sqrt{\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}.\frac{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^3}}\)
Suy ra BĐT đã cho là đúng nếu ta chứng minh được
\(27\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^3\left(1\right)\)
Sử dụng đẳng thức \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)và theo AM-GM: \(abc\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)ta được \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\left(2\right)\)
Từ (1)và(2) suy ra ta chỉ cần chứng minh \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)đúng=> đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Bài 3:
Ta có 2 BĐT ngược chiều: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2};\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}\)
Bổ đề: \(x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)\left(1\right)\forall x,y,z\ge0\)
Chứng minh: Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\). Khi đó:
\(VT\left(1\right)-VP\left(1\right)=x\left(x-y\right)^2+z\left(y-z\right)^2+\left(x-y+z\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)\ge0\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\ge64\left(abc\right)^2\)\(\Leftrightarrow\frac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\left[\frac{4abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right]^3\)
Suy ra ta chỉ cần chứng minh \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{4abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+b\right)\left(a+c\right)+b\left(b+c\right)\left(b+a\right)+c\left(c+a\right)\left(c+b\right)+4abc\)\(\ge2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)đúng theo bổ đề
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hoặc a=b,c=0 và các hoán vị
\(BDT\Leftrightarrow\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}+\sqrt[3]{\frac{xyz}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\le1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\le\frac{\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}}{3}\)
\(\sqrt[3]{\frac{xyz}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\le\frac{\frac{x}{a+x}+\frac{y}{b+y}+\frac{z}{c+z}}{3}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\frac{x+a}{x+a}+\frac{b+y}{b+y}+\frac{c+z}{c+z}}{3}=1\)
Xảy ra khi a=b=c và x=y=z
Áp dụng BĐT AM-Gm:
\(\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\)
\(\frac{x}{a+x}+\frac{y}{b+y}+\frac{z}{c+z}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\)
Cộng 2 BĐT trên theo vế:
\(3\ge3.\frac{\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\ge\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Ta sẽ sử dụng đánh giá \(x^3+\frac{1}{x^3}\ge\frac{1}{\left(1+9^3\right)^2}\left(x+\frac{81}{x}\right)^3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=\(\frac{1}{3}\)
Sử dụng đánh giá trên ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{a^3+\frac{1}{a^3}}\ge\frac{1}{\sqrt[3]{\left(1+9^3\right)^2}}\left(a+\frac{81}{a}\right)\\\sqrt[3]{b^3+\frac{1}{b^3}}\ge\frac{1}{\sqrt[3]{\left(1+9^3\right)^2}}\left(b+\frac{81}{b}\right)\\\sqrt[3]{c^3+\frac{1}{c^3}}\ge\frac{1}{\sqrt[3]{\left(1+9^3\right)^2}}\left(c+\frac{81}{c}\right)\end{cases}}\)
Cộng theo vế ta được \(P=\sqrt[3]{a^3+\frac{1}{a^3}}+\sqrt[3]{b^3+\frac{1}{b^3}}+\sqrt[3]{c^3+\frac{1}{c^3}}\ge\frac{1}{\sqrt[3]{\left(1+9^3\right)^2}}\left(a+b+c+\frac{81}{a}+\frac{81}{b}+\frac{81}{c}\right)\)
Ta lại có: \(a+b+c+\frac{81}{a}+\frac{81}{b}+\frac{81}{c}\ge a+b+c+\frac{729}{a+b+c}=a+b+c+\frac{1}{a+b+c}+\frac{729}{a+b+c}\)
\(\ge2+728=730\)
=> \(P\ge\frac{730}{\sqrt[3]{\left(1+9^3\right)^2}}=\sqrt[3]{730}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Hey Hải Nhật, mk có bảo bạn giải đâu ạ? Lời giải này thì mk biết lâu r, (chép trong tài liệu), nhưng mình hỏi cách tìm bđt phụ kia cơ mà
no la bdt bunhia do ban . nhan a+b+c voi ca 2 ve . ap dung bunhia la ra
Cách này khá phức tạp dùng để tìm BĐT phụ
Để giải dễ hơn và không mất tính tổng quát thì giả sử a+b+c=3. Điểm rơi: a=b=c=1 và Min=3/4
Bất đẳng thức quy về dạng
\(\frac{a}{\left(a-3\right)^2}+\frac{b}{\left(b-3\right)^2}+\frac{c}{\left(c-3\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)
Tìm m,n sao cho: \(\frac{a}{\left(a-3\right)^2}\ge am+n\)
Tương tự với \(\frac{b}{\left(b-3\right)^2}\)và \(\frac{c}{\left(c-3\right)^2}\)
Ta có: \(VT\ge\left(a+b+c\right)m+3n=3\left(m+n\right)\)
\(\Rightarrow3\left(m+n\right)=\frac{3}{4}\Rightarrow m+n=\frac{1}{4}\Rightarrow m=\frac{1}{4}-n\)
Thế ngược lên trên:
\(\frac{a}{\left(a-3\right)^2}\ge\frac{1}{4}a-an+n\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(a-3\right)^2}-\frac{1}{4}a\ge n\left(1-a\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(\frac{1}{\left(a-3\right)^2}-\frac{1}{4}\right)\ge n\left(1-a\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(\frac{-\left(a^2-6a+5\right)}{4\left(a-3\right)^2}\right)\ge n\left(1-a\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(1-a\right)\left(a-5\right)}{4\left(a-3\right)^2}\ge n\left(1-a\right)\)
\(\Rightarrow n=\frac{a\left(a-5\right)}{4\left(a-3\right)^2}=\frac{1}{4}\)khi a=1 (điểm rơi lấy xuống)
\(\Rightarrow m=\frac{1}{2}\)
BĐT phụ cần CM: \(\frac{a}{\left(a-3\right)^2}\ge\frac{2a-1}{4}\)
Cho a,b,c>0. Cmr: a/(b+c)^2+b/(c+a)^2+c/(a+b)^2>=9/[4(a+b+c)]. Giup minh vs...!? | Yahoo Hỏi & Đáp
\(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\Leftrightarrow\sqrt[3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}\)
BĐT Cô- si
đánh giá từ tbn sang tbc đấy bạn