Question

[Tố Quyên]

Cho hình thoi ABCD có góc A nhọn. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi F là trung điểm của DC. Trên tia đối của tia FO lấy điểm E sao cho F là trung điểm của OE. a) Chứng minh tứ giác OCED là hình chữ nhật và AOED là hình bình hành. b) Trên tia BF lấy điểm S sao cho FB = FS. Chứng minh tứ giác BCSD là hình bình hành. Từ đó suy ra E, C, S thẳng hàng. c) Hình thoi ABCD phải thỏa mãn thêm điều kiện gì để tứ giác BDSC là hình thoi. d) Gọi K là giao điểm của BS và DE. Tính tỉ số KE : KD

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a:

ABCD là hình thoi

=>AC vuông góc BD tại trung điểm của mỗi đường

=>AC vuông góc BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

Xét tứ giác OCED có

F là trung điểm chung của OE và CD

Do đó: OCED là hình bình hành

mà góc DOC=90 độ(AC vuông góc BD tại O)

nên OCED là hình chữ nhật

=>DE//OC và DE=OC

=>DE//OA và DE=OA(Do OC=OA)

Xét tứ giác AOED có

AO//ED

AO=ED

Do đó: AOED là hình bình hành

b: Xét tứ giác BDSC có

F là trung điểm chung của DC và BS

Do đó: BDSC là hình bình hành

=>CS//BD

mà CE//BD

và CS cắt CE tại C

nên C,S,E thẳng hàng

c: Để BDSC là hình thoi thì BD=BC

BD=CS(BDSC là hình bình hành)

OD=CE(ODEC là hình chữ nhật)

=>BD=2CE

=>CS=2CE

=>E là trung điểm của CS

=>ES/BD=1/2

Xét ΔKBD và ΔKSE có

góc KBD=góc KSE
góc BKD=góc SKE

Do đó: ΔKBD đồng dạng với ΔKSE

=>KD/KE=BD/SE=2