Question

[Minari Myoui]

Cho hình bình hành ABCD ; lấy điểm M trên BD sao cho \(MB\ne MD\).Đường thẳng qua M song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F.Đường thẳng qua M và song song với AD cắt AB và CD lần lượt tại K và H.

\(a,CM:KF//EH\)

b, CM: các đường thẳng EK,HF,BD đồng quy

c,CM:\(S_{MKAE}=S_{MHCF}\)

Answer 1

[Đông Tatto]

??????????????????????

Answer 2

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C D M E F K H S I J

a) Bằng tính chất của hình bình hành và hệ quả ĐL Thales ta có: 

\(\frac{KM}{KH}=\frac{BF}{BC}=\frac{MF}{DC}=\frac{MF}{EF}\). Suy ra KF // EH (Theo ĐL Thales đảo) (đpcm).

b) Gọi giao điểm của EK và HF là S. Ta đi chứng minh B,D,S thẳng hàng. Thật vậy:

Gọi MS cắt EH và KF lần lượt ở I và J.

Theo bổ đề hình thang (cho hình thang KEHF) thì I là trung điểm EH và J là trung điểm KF

Do các tứ giác BKMF và DEMH là hình bình hành nên BD đi qua trung điểm của EH và KF 

Từ đó suy ra: 2 đường thẳng BD và MS trùng nhau hay 3 điểm B,D,S thẳng hàng => ĐPCM.

c) Dễ thấy: S_KEF = S_KHF (Chung đáy KF, cùng chiều cao vì KF//EH) => S_KME = S_FMH 

Mà S_MKAE = 2.S_KME; S_MHCF = 2.S_FMH nên S_MKAE = S_MHCF (đpcm).