Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1 \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\)
Nếu m = 1, hệ vô nghiệm
Nếu m ≠ 1, hệ tương đương
\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\x\le\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\x\ge\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm khi một trong hai hệ trong hệ ngoặc vuông có nghiệm ⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{2}{m-1}\ge-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\\dfrac{2}{m-1}\le4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\-2\le1-m\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\2\le4m-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{3}{2}\le m\le4\end{matrix}\right.\)
Lý thuyết cơ bản:
BPT: \(f\left(x\right)\le f\left(m\right)\) có nghiệm \(x\in\left(a;b\right)\) khi và chỉ khi \(f\left(m\right)\ge\min\limits_{\left(a;b\right)}f\left(x\right)\)
BPT: \(f\left(x\right)\le f\left(m\right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\in\left(a;b\right)\) khi và chỉ khi \(f\left(m\right)\ge\max\limits_{\left(a;b\right)}f\left(x\right)\)
Nói tóm lại: có nghiệm thì so sánh với min, nghiệm đúng với mọi x thì so sánh với max
Trong trường hợp \(f\left(x\right)\ge f\left(m\right)\) thì làm ngược lại.
Ta có: \(x^2-3x-4\le0\Leftrightarrow-1\le x\le4\)
Xét \(x^3-3\left|x\right|x\ge m^2-6m\) trên \(\left[-1;4\right]\)
BPT có nghiệm khi \(f\left(m\right)=m^2-6m\le\max\limits_{\left[-1;4\right]}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)=x^3-3\left|x\right|x\)
- Với \(-1\le x\le0\Rightarrow f\left(x\right)=x^3+3x^2=x^3+3x^2-2+2\)
\(=\left(x+1\right)\left[\left(x+1\right)^2-3\right]+2\le2\)
- Với \(0\le x\le4\Rightarrow f\left(x\right)=x^3-3x^2=x^3-3x^2-16+16\)
\(=\left(x-4\right)\left(x^2+x+4\right)+16\le16\)
So sánh 2 giá trị 2 và 16 ta suy ra \(\max\limits_{\left[-1;4\right]}\left(x^3-3\left|x\right|x\right)=f\left(4\right)=16\)
\(\Rightarrow m^2-6m\le16\Leftrightarrow m^2-6m-16\le0\)
\(\Leftrightarrow-2\le m\le8\)
a.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le m\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow m=2\)
b.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+1\right)x\ge6\\2x\le6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{6}{m^2+1}\\x\le3\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\dfrac{6}{m^2+1}=3\)
\(\Leftrightarrow m=\pm1\)
c.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+9\ge x^2+7x+1\\5x\ge2m-8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{8}{13}\\x\ge\dfrac{2m-8}{5}\end{matrix}\right.\)
Pt có nghiệm duy nhất khi \(\dfrac{2m-8}{5}=\dfrac{8}{13}\Leftrightarrow m=\dfrac{72}{13}\)
d.
Hệ có nghiệm duy nhất khi:
TH1:
\(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\dfrac{m-3}{m}=\dfrac{m-9}{m+3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m^2-9=m^2-9m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=1\)
TH2:
\(\left\{{}\begin{matrix}m+3< 0\\\dfrac{m-3}{m}=\dfrac{m-9}{m+3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=1\) (ktm)
Vậy \(m=1\)
e.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2m-1\right)x\ge-2m+3\\\left(4-4m\right)x\le3\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2m-1\right)\left(4-4m\right)>0\\\dfrac{-2m+3}{2m-1}=\dfrac{3}{4-4m}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}< m< 1\\\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{4}\\m=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}\)
a/ \(x^2+2x-15< 0\Rightarrow-5< x< 3\)
TH1: \(m=-1\) ko thỏa mãn
TH2: \(m>-1\Rightarrow x\ge\frac{3}{m+1}\)
Để BPT đã cho có nghiệm thì: \(\frac{3}{m+1}< 3\)
\(\Leftrightarrow m+1>1\Rightarrow m>0\)
TH3: \(m< -1\Rightarrow x\le\frac{3}{m+1}\)
Để BPT có nghiệm \(\Rightarrow\frac{3}{m+1}>-5\)
\(\Leftrightarrow3< -5\left(m+1\right)\)
\(\Leftrightarrow5m< -8\Rightarrow m< -\frac{8}{5}\)
Vậy để BPT đã cho có nghiệm thì \(\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -\frac{8}{5}\end{matrix}\right.\)
b/ \(x^2-3x-4\le0\Leftrightarrow-1\le x\le4\)
Xét bpt \(\left(m-1\right)x\ge2\)
TH1: \(m=1\) ko thỏa mãn
TH2: \(m>1\Rightarrow x\ge\frac{2}{m-1}\)
Để BPT có nghiệm \(\Rightarrow4\le\frac{2}{m-1}\)
\(\Rightarrow2\left(m-1\right)\le1\Rightarrow m\le\frac{3}{2}\)
Kết hợp điều kiện \(\Rightarrow1< m\le\frac{3}{2}\)
TH3: \(m< 1\Rightarrow x\le\frac{2}{m-1}\)
Để BPT có nghiệm \(\Rightarrow\frac{2}{m-1}\ge-1\)
\(\Leftrightarrow2\le1-m\Rightarrow m\le-1\)
Vậy để BPT đã cho có nghiệm thì: \(\left[{}\begin{matrix}m\le-1\\1< m\le\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(x^2-6x+5\le0\Leftrightarrow1\le x\le5\)
Hệ đã cho có nghiệm khi \(f\left(x\right)=x^2-2\left(a+1\right)x+a^2+1\le0\) có nghiệm thuộc \(\left[1;5\right]\)
\(\Delta'=\left(a+1\right)^2-a^2-1=2a\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=0\\a+1\in\left[1;5\right]\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\a+1\in\left[1;5\right]\end{matrix}\right.\) thỏa mãn
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\\left[{}\begin{matrix}f\left(1\right)\le0\\f\left(5\right)\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\left[{}\begin{matrix}a^2-2a\le0\\a^2-10a+16\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow0\le a\le8\)