Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
d/
\(f'\left(x\right)=4cos^2\frac{x}{2}-2x.2cos\frac{x}{2}.sin\frac{x}{2}=2\left(1+cosx\right)-2x.sinx\)
\(f'\left(x\right)=g\left(x\right)\)
\(\Leftrightarrow2+2cosx-2x.sinx=8cos\frac{x}{2}-3-2sinx\)
Chà, có vẻ bạn ghi ko đúng đề, pt này ko giải được.
Chắc \(g\left(x\right)=8cos\frac{x}{2}-3-2x.sinx\) mới đúng chứ nhỉ?
c/
\(f'\left(x\right)=4x.cos^2\frac{x}{2}-2x^2.cos\frac{x}{2}.sin\frac{x}{2}=2x\left(1+cosx\right)-x^2sinx\)
\(f'\left(x\right)=g\left(x\right)\)
\(\Leftrightarrow2x\left(1+cosx\right)-x^2sinx=x-x^2sinx\)
\(\Leftrightarrow2x\left(1+cosx\right)=x\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\2\left(1+cosx\right)=1\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow cosx=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\\x=-\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
a/ \(\lim\limits_{x\rightarrow\sqrt{2}}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow\sqrt{2}}\frac{\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}{x-\sqrt{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow\sqrt{2}}\left(x+\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow\sqrt{2}}f\left(x\right)=f\left(\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) hàm số liên tục tại \(x=\sqrt{2}\)
b/ \(\lim\limits_{x\rightarrow5^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow5^+}\frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}=\frac{\left(x-5\right)\left(\sqrt{2x-1}+3\right)}{2\left(x-5\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow5^+}\frac{\sqrt{2x-1}+3}{2}=3\)
\(f\left(5\right)=\lim\limits_{x\rightarrow5^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow5^-}\left[\left(x-5\right)^2+3\right]=5\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow5^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow5^-}f\left(x\right)=f\left(5\right)\Rightarrow\) hàm số liên tục tại \(x=5\)
Ủa pt hàm là \(f\left(f\left(x\right)+y\right)=2x+f\left(f\left(x\right)-y\right)\) hay \(f\left(f\left(x\right)+y\right)=2x+f\left(f\left(y\right)-x\right)\) vậy bạn?
Vì nếu pt hàm là \(f\left(f\left(x\right)+y\right)=2x+f\left(f\left(x\right)-y\right)\)
Nếu ta thế \(y=0\) thì:
\(f\left(f\left(x\right)\right)=2x+f\left(f\left(x\right)\right)\Leftrightarrow2x\equiv0\) điều này vô lý nên ko thể tồn tại 1 hàm như vậy
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\frac{\sqrt[3]{5x+3}-2+2-\sqrt{2x+2}}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\frac{\frac{5\left(x-1\right)}{\sqrt[3]{\left(5x+3\right)^2}+2\sqrt[3]{5x+3}+4}-\frac{2\left(x-1\right)}{2+\sqrt{2x+2}}}{x-1}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(\frac{5}{\sqrt[3]{\left(5x+3\right)^2}+2\sqrt[3]{5x+3}+4}-\frac{2}{2+\sqrt{2x+2}}\right)=-\frac{1}{12}\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}m.sin\left(\frac{\pi x}{2}+2019\right)=\)
Đến đây lại thêm vấn đề nữa, \(sin\left(\frac{\pi x}{2}+2019\right)\) hay \(sin\left(\frac{\pi x}{2}+2019\pi\right)\) bạn?
Bạn ghi đề sai thì phải, nhìn hàm khi \(x< 1\) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)\) không tồn tại (ko phải dạng vô định \(\frac{0}{0}\), khi thay x=1 vào tử số ra khác 0)
a/ Với \(x\ne\pm1\) hàm số liên tục
Với \(x=-1\) hàm số gián đoạn
Xét tại \(x=1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x^2+2x-1}{x^2-1}=\frac{2}{0}=+\infty\ne f\left(1\right)\)
Vậy hàm số gián đoạn tại \(x=1\)
b/ Với \(x\ne2\) hàm số liên tục (ko cần xét tại \(x=1\) do tại \(x=1\Rightarrow f\left(x\right)=2x^2-6\) là hàm đa thức nên hiển nhiên liên tục)
Xét tại \(x=2\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\frac{\left(2-x\right)\left(x^2-3x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\frac{x^2-3x+1}{1-x}=1\ne f\left(2\right)\)
Vậy hàm số gián đoạn tại \(x=2\) (ko cần xét thêm giới hạn trái tại 2)
thì f(x) thỏa mãn được tất cả các điều kiện đã nêu
\(\lim\limits_{x\rightarrow4^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow4^-}\left(3x+1\right)=13\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow4^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow4^+}\frac{x^2-x-12}{x-4}=\lim\limits_{x\rightarrow4^+}\frac{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}{x-4}=\lim\limits_{x\rightarrow4^+}\left(x+3\right)=7\)
Do \(\lim\limits_{x\rightarrow4^-}f\left(x\right)\ne\lim\limits_{x\rightarrow4^+}f\left(x\right)\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow4}f\left(x\right)\) không tồn tại
Thay \(y=0\Rightarrow f\left(x\right)=f\left(x\right)+f\left(0\right)\Rightarrow f\left(0\right)=0\)
Đặt \(g\left(x\right)=f\left(x\right)-x^2\Rightarrow g\left(0\right)=0\)
\(g\left(x+y\right)=f\left(x+y\right)-\left(x+y\right)^2=f\left(x\right)+f\left(y\right)+2xy-\left(x+y\right)^2\)
\(=\left[f\left(x\right)-x^2\right]+\left[f\left(y\right)-y^2\right]=g\left(x\right)+g\left(y\right)\)
Vậy quy về tìm hàm \(g\) thỏa \(g\left(x+y\right)=g\left(x\right)+g\left(y\right)\)
\(g\left(x+\Delta x\right)=g\left(x\right)+g\left(\Delta x\right)\Rightarrow g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)=g\left(\Delta x\right)-g\left(0\right)\)
\(\Rightarrow\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}=\frac{g\left(\Delta x\right)-g\left(0\right)}{\Delta x}\)
Lấy giới hạn 2 vế: \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g\left(\Delta x\right)-g\left(0\right)}{\Delta x}\)
\(\Leftrightarrow g'\left(x\right)=g'\left(0\right)=const\) (theo định nghĩa về đạo hàm)
\(\Rightarrow g\left(x\right)=c.x\) với c là hằng số
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2+cx\)
Thay vào pt dưới: \(\left(\frac{1}{x}\right)^2+c\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^2+cx}{x^4}=\left(\frac{1}{x}\right)^2+c\left(\frac{1}{x^3}\right)\)
\(\Leftrightarrow c\left(\frac{1}{x}\right)=c\left(\frac{1}{x^3}\right)\)
Điều này thỏa mãn với mọi x khi và chỉ khi \(c=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2\Rightarrow f\left(\sqrt{2019}\right)=2019\)
Nguyễn Việt Lâm a thi VMO k thế :D