Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là :
\(x^3-2x^2+\left(1-m\right)x+m=0\left(1\right)\)
Biến đổi tương đương phương trình này :
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3-2x^2+x-mx+m=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2-2x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-x-m\right)=0\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x^2-x-m=0\left(2\right)\)
Gọi \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình (2) thì :
\(t^2+x_1^2+x_2^2< 4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 3\Leftrightarrow m< 1\) (*)
Yêu cầu bài toán tương đương với (2) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\ne1\) thỏa mãn điều kiện (*)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta=1+4m>0\\1^2-1-m\ne0\\m< 1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-\frac{1}{4}< m< 1\\m\ne0\end{cases}\)
Xét điểm \(M\left(m;0\right)\in Ox\).
Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=k\left(x-m\right)\)
d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}-x^3+3x+2=k\left(x-m\right)\\-3x^2+3=k\end{cases}\) có nghiệm
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :
\(3\left(x^2-1\right)\left(x-m\right)-\left(x^3-3x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(3x^2-3\left(1+m\right)x+3m\right)-\left(x+1\right)\left(x^2-x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left[2x^2-\left(3m+2\right)x+3m+2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-1\\2x^2-\left(3x+2\right)x+3m+2=0\left(a\right)\end{array}\right.\)
Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến thì (a) phải có 2 nghiệm phân biệt khác -1
\(\begin{cases}\Delta=\left(3m+2\right)\left(3m-6\right)>0\\3m+3\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m< -\frac{2}{3}Vm>2\\m\ne-1\end{cases}\) (*)
Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của (a), khi đó hệ số góc của 3 tiếp tuyến là :
\(k_1=-3x_1^2+3;k_2=-3x_2^2+3;k_3=0\)
Để 2 trong 3 tiếp tuyến này vuông góc với nhau \(\Leftrightarrow k_1.k_2=-1\)
\(\Leftrightarrow9\left(x^2_1-1\right)\left(x^2_2-1\right)=1\Leftrightarrow9x^2_1x^2_2-9\left(x_1+x_2\right)^2+18x_1x_2+8=0\left(i\right)\)
Mặt khác, theo định lý Viet, \(x_1+x_2=\frac{3m+2}{2};x_1x_2=\frac{3m+2}{2};\)
Từ đó (i) \(\Leftrightarrow9\left(3m+2\right)+8=0\Leftrightarrow m=-\frac{26}{27}\) thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy \(M\left(-\frac{26}{27};0\right)\) là điểm cần tìm
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M, N thì \(x_M;x_N\) là nghiệm của phương trình :
\(f'\left(x\right)=k\Leftrightarrow3x^2-6x-k=0\)
Để tồn tại hai tiếp điểm M, N thì phải có \(\Delta'>0\Leftrightarrow k>-3\)
Ta có \(y=f'\left(x\right)\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)-2x+2\)
Từ \(f'\left(x_M\right)=f'\left(x_N\right)=k\) suy ra phương trình đường thẳng MN là :
\(y=\left(\frac{k}{3}-2\right)x+2-\frac{k}{3}\), khi đó \(A\left(1;0\right);B\left(0;\frac{6-k}{3}\right)\)
Ta có \(AB^2=10\Leftrightarrow k=15\) (do k > -3)
Từ đó ta có 2 tiếp tuyến cần tìm là :
\(y=15x-12\sqrt{6}-15\)
\(y=15x+12\sqrt{6}-15\)
Giao điểm của đồ thị hàm số (C) và trục tung là điểm N(0;1)
Ta có : \(f'\left(x\right)=\frac{3}{\left(1-x\right)^2}\) suy ra tiếp tuyến tại điểm N là \(\left(\Delta\right):y=3x+1\Leftrightarrow\left(\Delta\right):3x-y+1=0\)
Xét điểm \(M\left(a+1;\frac{2a+3}{-a}\right)\in\left(C\right),a>0\)
Ta có : \(d_{M\\Delta }=\frac{\left|3\left(a+1\right)+\frac{2a+3}{a}+1\right|}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.\frac{3a^2+6a}{+3a}=\frac{3}{\sqrt{10}}\left(a+\frac{2}{a}+1\right)\ge\frac{3}{\sqrt{10}}\left(2\sqrt{2}+1\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=\frac{2}{a}\Leftrightarrow a=\sqrt{2}\Rightarrow M\left(\sqrt{2}+1;\frac{2\sqrt{2}+5}{-\sqrt{2}}\right)\)
\(\frac{2x-1}{-x-1}=-2x+m\Leftrightarrow\begin{cases}2x^2-\left(m+4\right)x+1=0\left(1\right)\\x\ne1\end{cases}\)
Đường thẳng y=-2x+m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow\) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m+4\right)^2-8\left(m+1\right)>0\\-1\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m^2+8>0\) với mọi m
Vậy với mọi m, đường thẳng y=x+m luôn cắt đồ thị C tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \(x_1,x_2\) và \(x_1\ne x_2\)
Theo Viet : \(x_1+x_2=\frac{4+m}{2},x_1.x_2=\frac{m+1}{2}\)
\(x_1x_2-4\left(x_1+x_2\right)=\frac{7}{2}\Leftrightarrow\frac{m+1}{2}-4\left(\frac{m+4}{2}\right)=\frac{7}{2}\Leftrightarrow m=-\frac{22}{3}\)
Vậy \(m=-\frac{22}{3}\) thì đường thẳng \(y=-2x+m\) cắt đồ thì (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \(x_1,x_2\) và \(x_1x_2-4\left(x_1+x_2\right)=\frac{7}{2}\)
a. Ta có : \(y'=3x^2-6x+2\)
\(x_0=1\Leftrightarrow y_0=-6\) và \(y'\left(x_0\right)=y'\left(-1\right)=11\)
Suy ra phương trình tiếp tuyến là \(y=y'\left(-1\right)\left(x+1\right)-6=11x+5\)
b. Gọi \(M\left(x_0;6\right)\) là tiếp điểm, ta có :
\(x_0^3-3x_0^2+2x_0=6\Leftrightarrow\left(x_0-3\right)\left(x_0^2+2\right)=0\Leftrightarrow x_0=3\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là :
\(y=y'\left(3\right)\left(x-3\right)+6=11x-27\)
c. PTHD giao điểm của (C) với Ox :
\(x^3-3x^2+2x=0\Leftrightarrow x=0;x=1;x=2\)
* \(x=0\) ta có tiếp tuyến : \(y=y'\left(0\right)\left(x-0\right)+0=2x\)
* \(x=1\) ta có tiếp tuyến : \(y=y'\left(1\right)\left(x-1\right)+0=-x+1\)
* \(x=2\) ta có tiếp tuyến : \(y=y'\left(2\right)\left(x-2\right)+0=2x-4\)
Tập xác định : \(D=R\backslash\left\{1\right\}\)
\(M\in Ox\Rightarrow M\left(x_0;0\right)\) đường thẳng qua M với hệ số góc k có phương trình \(y=k\left(x-x_0\right)\) \(\left(\Delta\right)\)
\(\left(\Delta\right)\) là tiếp tuyến của đồ thì khi hệ \(\begin{cases}\frac{x^2}{x-1}=k\left(x-x_0\right)\\\frac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=k\end{cases}\) có nghiệm
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}\left(x-x_0\right)\Leftrightarrow x\left[\left(x_0+1\right)x-2x_0\right]=0\)
\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=\frac{2x_0}{x_0+1}\end{array}\right.\) với \(x_0\ne-1\)
* Với \(x_0=0\Rightarrow k=0\)
Ta có : \(y'=3x^2-2\left(m-1\right)x+3m+1\)
Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm, ta có : \(x_0=1\Rightarrow y_0=3m+1,y'\left(1\right)=m+6\)
Phương trình tiếp tuyến tại M : \(y=\left(m+6\right)\left(x-1\right)+3m+1\)
Tiếp tuyến đi qua A \(\Leftrightarrow-1=m+6+3m+1\Leftrightarrow m=-2\)
Vậy m = -2 là giá trị cần tìm
Phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) tại \(M\left(x_0;-x^3_0+3x_0-2\right)\) là :
\(y=\left(-3x^2_0+3\right)\left(x-x_0\right)-x_0^3+3x_0-2\)
Gọi N (a;0) thuộc trục hoành. Vì \(N\in\Delta\) nên \(0=\left(-3x^2_0+3\right)\left(a-x_0\right)-x_0^3+3x_0-2\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=1\\g\left(x_0\right)=2x_0^2+\left(2-3a\right)x_0+2-3a=0\end{array}\right.\) (*)
Để từ N kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) thì phương trình \(f\left(x_0\right)=0\) phải có hệ nghiệm phân biệt khác 1
Điều này tương đương với :
\(\begin{cases}\Delta=\left(2-3a\right)^2-8\left(2-3a\right)>0\\g\left(1\right)6-6a\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a\in\left(-\infty;-2\right)\cup\left(\frac{2}{3};+\infty\right)\backslash\left\{1\right\}\)
Giả sử \(x_3=1\) thì \(x_1;x_2\) là nghiệm phương trình (*) nên theo Viet ta có :
\(\begin{cases}x_1+x_2=\frac{3a-2}{2}\\x_1.x_2=\frac{2-3a}{2}\end{cases}\)
Ta có \(x_1^3+x_2^3+x_3^3=21\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=20\)
\(\Leftrightarrow\left(3a-2\right)^3+6\left(3a-2\right)^2-160=0\)
\(\Leftrightarrow3a-2=4\Leftrightarrow a=2\) (thỏa mãn)
Vậy ta có \(N\left(2;0\right)\)
câu này trình bày như thế nào