Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\(y=ax^3+bx^2+cx+d\)
\(\Rightarrow y'=3ax^2+2bx+c\)
Vì $M(0;2)$ và $N(2;-2)$ là 2 điểm cực trị của đths đã cho nên \(x=0; x=2\) là 2 nghiệm của pt \(y'=3ax^2+2bx+c=0\)
Do đó:
\(\left\{\begin{matrix}
3a.0^2+b.0+c=0\\
3a.2^2+2.b.2+c=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
c=0\\
12a+4b=0\end{matrix}\right.(1)\)
Mặt khác, \(M(0;2); N(2;-2)\in (y)\) nên:
\(\left\{\begin{matrix} 2=a.0^3+b.0^2+c.0+d\\ -2=a.2^3+b.2^2+c.2+d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} d=2\\ 8a+4b+2=-2\end{matrix}\right.(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-3\\ c=0\\ d=2\end{matrix}\right.\)
Vậy $y=x^3-3x^2+2$
Suy ra \(y(-2)=-18\)
\(y'=4x^3+3ax^2+2bx\)
\(y'=0\Rightarrow x\left(4x^2+3ax+b\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\4x^2+3ax+b=0\end{matrix}\right.\)
Xét \(g\left(x\right)=4x^2+3ax+b=0\) với \(\Delta=9a^2-16b\)
Hàm số luôn có 1 cực trị là \(x=0\), với \(y\left(0\right)=1\)
Dựa vào hình dáng đồ thị hàm bậc 4, để \(y\) đạt GTNN bằng 1 cũng chính là \(y\left(0\right)\) ta có các trường hợp sau:
- TH1: \(\Delta\le0\Rightarrow9a^2-16b\le0\Rightarrow b\ge\frac{9a^2}{16}\)
Khi đó \(S=a+b\ge a+\frac{9a^2}{16}=\frac{9}{16}\left(a+\frac{8}{9}\right)^2-\frac{4}{9}\ge-\frac{4}{9}\)
- TH2: \(g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm cùng âm \(x_1< x_2< 0\) và \(y\left(x_1\right)=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}9a^2-16b>0\\\frac{b}{4}>0\\\frac{-3a}{4}< 0\\x_1^4+ax_1^3+bx_1^2+1=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b< \frac{9}{16}a^2\\b>0\\a>0\\x_1^2+ax_1+b=0\end{matrix}\right.\)
Nói chung ta ko cần tìm tiếp, do \(a;b>0\Rightarrow a+b>0>-\frac{4}{9}\)
TH3: \(g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm cùng dương \(0< x_1< x_2\) và \(y\left(x_2\right)=1\)
\(\left\{{}\begin{matrix}9a^2-16b>0\\\frac{b}{4}>0\\-\frac{3a}{4}>0\\y\left(x_2\right)=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b< \frac{9}{16}a^2\\b>0\\a< 0\end{matrix}\right.\)
\(y\left(x_2\right)=x_2^4+ax_2^3+bx_2^2+1=1\)
\(\Leftrightarrow x_2^2+ax_2+b=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x_2^2+3ax_2+b=0\\x_2^2+ax_2+b=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3x_2^2+2ax_2=0\Rightarrow x_2=-\frac{2a}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{4a^2}{9}-\frac{2a^2}{3}+b=0\Rightarrow b=\frac{2a^2}{9}\)
\(\Rightarrow S=a+b=\frac{2a^2}{9}+a=\frac{2}{9}\left(a+\frac{9}{4}\right)^2-\frac{9}{8}\ge-\frac{9}{8}\)
So sánh 2 giá trị \(-\frac{4}{9}\) và \(-\frac{9}{8}\) ta được \(S_{min}=-\frac{9}{8}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{9}{4}\\b=\frac{9}{8}\end{matrix}\right.\)
nếu có đáp án trắc nghiệm thì theo mình làm bài này nhanh như sau:
tìm tập xác định D=R
tính y', tìm điều kiện để cho hàm số có 3 điểm cực trị là pt y'=0 có 3 nghiệm phân biệt
áp dụng công thức tính nhanh :b^2 -6ac, suy ra m , kết hợp với điều kiện hàm số có 3 điểm cực trị, suy ra m cần tìm
lưu ý: công thức mình đưa ra là b^2-6ac chỉ áp dụng cho hàm bậc 4 trùng phương, 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác và có trọng tâm là gốc tọa độ.
Không có khái niệm hàm số đơn điệu tại 1 điểm x hoặc y nào đó, nên bạn xem lại đề