Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ điểm O, ‘‘thu nhỏ’’ hai lần tứ giác ABCD, ta sẽ nhận được tứ giác A’B’C’D’.
A B C H A' O C' B'
kẻ đường cao AH có: \(\frac{OA'}{AA'}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\), ta có:
\(\frac{OB'}{BB'}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}\)
\(\frac{OC'}{CC'}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{OA'}{AA'}+\frac{OB'}{BB'}+\frac{OC'}{CC'}=\frac{S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\) (đpcm)
Nguồn: HiệU NguyễN
A B C A' B' C' O H
a) kẻ đường cao AH.Dễ thấy \(\dfrac{OA'}{AA'}=\dfrac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\).Tương tự ta có:
\(\dfrac{OB'}{BB'}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{ABC}};\dfrac{OC'}{CC'}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{OA'}{AA'}+\dfrac{OB'}{BB'}+\dfrac{OC'}{CC'}=\dfrac{S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\left(QED\right)\)
b)Theo câu a:
\(\left(1-\dfrac{OA'}{AA'}\right)+\left(1-\dfrac{OB'}{BB'}\right)+\left(1-\dfrac{OC'}{CC'}\right)=3-1\)
\(\Rightarrow\dfrac{OA}{AA'}+\dfrac{OB}{BB'}+\dfrac{OC}{CC'}=2\)
c)Chứng minh \(\dfrac{OA}{OA'}+\dfrac{OB}{OB'}+\dfrac{OC}{OC'}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AA'}{OA'}+\dfrac{BB'}{OB'}+\dfrac{CC'}{OC'}\ge9\)
có:\(\dfrac{AA'}{OA'}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{BOC}}\)( theo câu a)
tương tự và cộng lại:\(M=\dfrac{AA'}{OA'}+\dfrac{BB'}{OB'}+\dfrac{CC'}{OC'}=S_{ABC}\left(\dfrac{1}{S_{BOC}}+\dfrac{1}{S_{AOC}}+\dfrac{1}{S_{AOB}}\right)\ge\dfrac{9S_{ABC}}{S_{BOC}+S_{AOB}+S_{AOC}}=\dfrac{9S_{ABC}}{S_{ABC}}=9\)
( BĐT AM-GM)
Dấu = xảy ra hay M nhỏ nhất khi O là trọng tâm của tam giác ABC
d) có: \(\dfrac{AA'}{OA'}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{BOC}}\Rightarrow\dfrac{AA'-OA'}{OA'}=\dfrac{S_{ABC}-S_{BOC}}{S_{BOC}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OA'}=\dfrac{S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{BOC}}\)
Tương tự và nhân lại:
\(N=\dfrac{OA}{OA'}.\dfrac{OB}{OB'}.\dfrac{OC}{OC'}=\dfrac{\left(S_{AOC}+S_{AOB}\right)\left(S_{BOC}+S_{AOB}\right)\left(S_{BOC}+S_{AOC}\right)}{S_{AOB}.S_{AOC}.S_{BOC}}\)
Đặt \(\left(S_{BOC};S_{AOB};S_{AOC}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\)
Thì \(N=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\)
Theo AM-GM:\(N\ge\dfrac{2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}}{abc}=\dfrac{8abc}{abc}=8\)
Dấu = xảy ra khi O là trọng tâm của tam giác ABC
Kẻ OM vuông góc với BC, kẻ AI vuông góc với BC
\(\Rightarrow\)OM//AI
Xét tam giác AA'I có OM//AI(cmt)
\(\Rightarrow\)\(\frac{OM}{AI}=\frac{OA'}{AA'}\)(Theo hệ quả Ta-lét)
\(\Rightarrow\)\(\frac{OA'}{AA'}=\frac{\frac{1}{2}.OM.BC}{\frac{1}{2}.AI.BC}=\frac{S_{BDC}}{S_{ABC}}\)
Tương tự, ta có \(\frac{DB'}{BB'}=\frac{S_{ADC}}{S_{ABC}}\)
\(\frac{DC'}{CC'}=\frac{S_{ADB}}{S_{ABC}}\)
nên \(\Rightarrow\)đ/cm
a)
i) Vì \(OA' = 3OA \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{1}{3}\);\(OB' = 3OB \Rightarrow \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{1}{3}\).
Xét tam giác \(OA'B'\) có:
\(\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{1}{3}\)
Do đó, \(A'B'//AB\) (định lí Thales đảo)
ii) Vì \(A'B'//AB \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{1}{3}\) (hệ quả của định lí Thales)
Do đó, \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{3}{1} = 3\).
b)
i)
- Vì \(OA' = 3OA \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{1}{3}\);\(OB' = 3OB \Rightarrow \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{1}{3}\).
Xét tam giác \(OA'B'\) có:
\(\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{1}{3}\)
Do đó, \(A'B'//AB\) (định lí Thales đảo)
Vì \(A'B'//AB \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{1}{3}\) (hệ quả của định lí Thales)
Do đó, \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{3}{1} = 3\).
- Vì \(OA' = 3OA \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{1}{3}\);\(OC' = 3OC \Rightarrow \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{1}{3}\).
Xét tam giác \(OA'C'\) có:
\(\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{1}{3}\)
Do đó, \(A'C'//AC\) (định lí Thales đảo)
Vì \(A'C'//AC \Rightarrow \frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{1}{3}\) (hệ quả của định lí Thales)
Do đó, \(\frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{3}{1} = 3\).
- Vì \(OB' = 3OB \Rightarrow \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{1}{3}\);\(OC' = 3OC \Rightarrow \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{1}{3}\).
Xét tam giác \(OB'C'\) có:
\(\frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{1}{3}\)
Do đó, \(B'C'//BC\) (định lí Thales đảo)
Vì \(B'C'//BC \Rightarrow \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{1}{3}\) (hệ quả của định lí Thales)
Do đó, \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{3}{1} = 3\).
Do đó, \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}}\)
ii) Xét tam giác \(A'B'C'\) và tam giác \(ABC\) ta có:
\(\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}}\) (chứng minh trên)
Do đó, tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\).
Từ điểm O, ‘‘phóng to’’ ba lần tam giác ABC, ta sẽ nhận được tam giác A’B’C’.