Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
cho a2 + b2 ⋮ 3 cm: a ⋮ 3; b ⋮ 3
Giả sử a và b đồng thời đều không chia hết cho 3
Vì a không chia hết cho 3 nên ⇒ a2 : 3 dư 1
vì b không chia hết cho b nên ⇒ b2 : 3 dư 1
⇒ a2 + b2 chia 3 dư 2 (trái với đề bài)
Vậy a; b không thể đồng thời không chia hết cho ba
Giả sử a ⋮ 3; b không chia hết cho 3
a ⋮ 3 ⇒ a 2 ⋮ 3
Mà a2 + b2 ⋮ 3 ⇒ b2 ⋮ 3 ⇒ b ⋮ 3 (trái giả thiết)
Tương tự b chia hết cho 3 mà a không chia hết cho 3 cũng không thể xảy ra
Từ những lập luận trên ta có:
a2 + b2 ⋮ 3 thì a; b đồng thời chia hết cho 3 (đpcm)
Lời giải:
Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $a,b$
Khi đó, đặt \(\left\{\begin{matrix} a=dx\\ b=dy\end{matrix}\right.(x,y)=1\)
Ta có: \(ab(a+b)\vdots a^2+ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow dxdy(dx+dy)\vdots (dx)^2+dxdy+(dy)^2\)
\(\Leftrightarrow dxy(x+y)\vdots x^2+xy+y^2\)
Do $x,y$ nguyên tố cùng nhau nên :
\((x,x^2+xy+y^2)= (y,x^2+xy+y^2)=(x+y,x^2+xy+y^2)=1\)
Suy ra \(d\vdots x^2+xy+y^2\)
\(\Rightarrow d\geq x^2+xy+y^2\)
\(\Rightarrow d^3\geq a^2+ab+b^2\)
Mà với $a,b$ nguyên dương phân biệt thì \(a^2+ab+b^2\geq 3ab>ab\)
Do đó \(d^3>ab(1)\)
Mặt khác: $a,b$ nguyên dương phân biệt kéo theo $x,y$ nguyên dương phân biệt nên \(|x-y|\geq 1\)
\(\Rightarrow |a-b|=d|x-y|\geq d(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow |a-b|^3>ab\Rightarrow |a-b|>\sqrt[3]{ab}\)
Ta có đpcm.
1/ \(4\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2+3b^2⋮3\)
\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2⋮3\)
\(\Rightarrow2a-b⋮3\)
\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2⋮9\)
\(\Rightarrow3b^2⋮9\)
\(\Rightarrow b⋮3\)
\(\Rightarrow a⋮3\)
Lời giải:
Điều kiện phải sửa lại là \(a,b,c\in\mathbb{Z}\) hoặc \(a,b,c\in\mathbb{Z}^+\) nhé.
Ta có:
\(a^2+b^2=c^2\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^2-2ab=c^2\)
\(\Leftrightarrow 2ab=(a+b)^2-c^2=(a+b-c)(a+b+c)(*)\)
Ta thấy \(a+b+c-(a+b-c)=2c\) nên \(a+b-c,a+b+c\) cùng tính chẵn lẻ.
+) Nếu \(a+b-c,a+b+c\) lẻ:
Từ \((*)\Rightarrow 2ab\vdots a+b+c\), mà \((a+b+c,2)=1\Rightarrow ab\vdots a+b+c\)
+) Nếu \(a+b-c,a+b+c\) chẵn.
Đặt \(a+b-c=2k(k\in\mathbb{Z})\Rightarrow 2ab=2k(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow ab=k(a+b+c)\Rightarrow ab\vdots a+b+c\)
Từ 2 TH trên suy ra \(ab\vdots a+b+c\)
\(ab\left(a^2-b^2\right)=a^3b-ab^3=a^3b-ab+ab-ab^3\)
\(=ab\left(a^2-1\right)-ab\left(b^2-1\right)=b\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+a\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\\\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\end{matrix}\right.\) đều là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chúng chia hết cho 3
\(\Rightarrow b\left(a-1\right)a\left(a+1\right)-a\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\) chia hết cho 3
\(\Rightarrow ab\left(a^2-b^2\right)\) chia hết cho 3 với mọi a, b nguyên
* Nếu a hoặc b chia hết cho 3\(\Rightarrow ab⋮3\Rightarrow ab\left(a^2-b^2\right)⋮3\)
* Nếu a và b đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow ab⋮3\Rightarrow ab\left(a^2-b^2\right)⋮3\)
* Nếu a và b đều không chia hết cho 3 thì ta có a2 và b2 đều chia cho 3 dư 1
Đặt a2=3k+1
b2=3h+1
Suy ra \(a^2-b^2=3k+1-3h-1=3k-3h=3\left(k-h\right)⋮3\Rightarrow a^2-b^2⋮3\Rightarrow ab\left(a^2-b^2\right)⋮3\)
Vậy ab(a2-b2) chia hết cho 3 với mọi số nguyên a và b
\(a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\)
Ta có: a+b và a-b (cùng chẵn)
Và: a;b có số dư cho 4 là: 1;3
+) a;b có cùng số dư khi đó:
a-b chia hết cho 4 và a+b chia hết cho 2
=> a^2-b^2 chia hết cho 8
+) a;b khác số dư khi đó:
a+b chia hết cho 4 và a-b chia hết cho 2
=> a^2-b^2 chia hết cho 8
Vậy với a,b lẻ thì: a2-b2 chia hết cho 8
Giả sử \(\frac{a^2+b^2}{ab-1}=k\left(k\in Z\right)\). Ta sẽ đi tìm k và chứng minh k là số nguyên tố.
Đặt \(m=a+b;n=a-b\), ta có \(\frac{a^2+b^2}{ab-1}=k\Rightarrow\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2-4}=\frac{k}{2}\)
TH1: Nếu trong a và b có một số chẵn, một số lẻ:
Khi đó k là số lẻ. Đặt \(d=\left(m^2+n^2;m^2-n^2-4\right)\Rightarrow d=\left(2m^2-4,2n^2+4\right)\)
\(\Leftrightarrow\) d | 2(m2 + n2) = 4(a2 + b2)
Mà \(\hept{\begin{cases}m^2+n^2=kd\\m^2-n^2-4=2d\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow2x^2-4=d\left(k+2\right)\Rightarrow\) d chia hết 2.
Lại có a2 + b2 là số lẻ nên d = 2 hoặc d = 4.
Thay vào hệ bên trên và giả thiết thì (a,b) = (-2;-1) hoặc (2;1). Khi đó k = 5 và nó là số nguyên tố.
TH2: Nếu cả a và b đều lẻ
\(\Rightarrow a=2k+1;b=2h+1\Rightarrow k=\frac{2\left(k^2+h^2+k+h\right)+1}{2kh+k+h}\) là số lẻ.
Tương tự như bên trên ta có d | 4(a2 + b2) = 8(2k2 + 2h2 + 2k + 2h + 1)
Và 2m2 - 4 = (k+2)d \(\Rightarrow d⋮2\Rightarrow d\in\left\{2;4;8\right\}\)
Thế vào hệ ta cũng tìm được (a;b) = (3;1) hoặc (-3;-10 và k = 5.
Vậy k luôn bằng 5 và nó là số nguyên tố.
xét số dư của a, b khi chia cho 5 là: 0,1,2,3,4.
ta ghép cặp dần (0,0) (0,1),(0,2)...(3,4) thì chỉ có cặp (0,0) mới đảm bảo \(a^2+b^2+ab\)mới chia hết cho 5.
vậy a, b sẽ có tận cùng là 0 hoặc 5.
nếu a,b có cùng có chữ số tận cùng là 5 loại vì: \(a^2+b^2+ab\)là số lẻ không chia hết cho 2.
nếu a có chữ số tận cùng bằng 5, b chữ số có tận cùng bằng 0 thì \(a^2+b^2+ab\)là số lẻ nên không chia hết cho 2. (loại vì \(a^2+b^2+ab\)chia hết cho 10).
a, b có chữu số tận cùng bằng 0 khi đó \(a^2+b^2+ab\)là số chẵn nên chia hết cho 2(thỏa mãn).
do a, b có chữ số tận cùng bằng 0 nên \(a^2,b^2,ab\)sẽ có tận cùng là 100 nên \(a^2+b^2+ab\)chia hết cho 100.
\(a^2+b^2+ab\) chia hết cho 10
=> \(a^2+b^2+ab\) chia hết cho 2 và 5
\(a^2+b^2+ab=\left(a^2+b^2+2ab\right)-ab\)
\(=\left(a+b\right)^2-ab\)
Vì \(\left(a+b\right)^2;ab\) chia hết cho 2
=> \(\left(a+b\right)^2;ab\) cùng chẵn hoặc cùng lẻ
(+) Nếu \(\left(a+b\right)^2;ab\) (1)
=> a và b cùng lẻ
=> a+b chẵn ( mâu thuẫn với (1) )
=> a và b cùng là số chẵn
Để \(=\left(a+b\right)^2-ab\) chia hết cho 5 thì (a+b)^2 và ab có cúng số dư khi chia cho 10
Mình chỉ biết đến đó
Mà cũng ko chắc là đúng