Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có : \(a^4+b^4\ge a^3+b^3\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\) (Vì a + b = 2)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+a^3b+ab^3+b^4\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3.\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2.\left(a^2-ab+b^2\right)\ge0\) (đúng)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3+b^3\)
Đẳng thức xảy ra
<=> a = b = 1
Áp dụng BĐT cô si ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3\)
\(\Rightarrow BĐT\)cần \(CM\): \(3>\frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow a+b+c>3\)
Mà a,b,c > 0 => abc > 0
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a^2=b^2=c^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=1\)
a) \(a,b>0\Rightarrow a^3-b^3< a^3+b^3\)
Mà \(a^3+b^3=a-b\)
\(\Rightarrow a^3-b^3< a-b\)
\(\Rightarrow\frac{a^3-b^3}{a-b}< 1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a-b}< 1\)
\(\Leftrightarrow a^2+ab+b^2< 1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2< 0\)(Vì a,b > 0)
b) Câu hỏi của ta là ai - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Đồng bậc
\(a^3+b^3\le a^4+b^4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+ab^3+a^3b\le2a^4+2b^4\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) ( true )
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\ge a+b\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\le2\left(2-ab\right)=4-2ab\)
\(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2=4-2a^2b^2\)
Có: \(2a^2b^2-2ab=2ab\left(ab-1\right)\)
Lại có: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2\ge2ab\Leftrightarrow1\ge ab\)
\(\Rightarrow2ab\left(ab-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow2a^2b^2\le2ab\)
\(\Leftrightarrow4-2a^2b^2\ge4-2ab\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge a^3+b^3\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
chỗ c/m \(a+b\le2\)có thể làm thế này nhanh hơn:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a+b\le2\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1