PH
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
T
24 tháng 9 2015
Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).Vậy điều giả sử trên là sai,
a,b,c là 3 số dương.
24 tháng 9 2015
Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).
Vậy điều giả sử trên là sai,
Do đó a,b,c là 3 số dương.
BN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 7 2019
Lời giải:
Xét hiệu:
\((a+b)(b+c)(c+a)-4(a+b+c-1)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc-4(a+b+c-1)\)
\(=(a+b+c)(ab+bc+ac)+3-4(a+b+c)=M\)
-------------------------
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\((ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)=3(a+b+c)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\geq \sqrt{3(a+b+c)}\). Đặt \(\sqrt{3(a+b+c)}=t\Rightarrow a+b+c=\frac{t^2}{3}\)
AM-GM: \(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\Rightarrow t=\sqrt{3(a+b+c)}\geq 3\)
Khi đó:
\(M\geq (a+b+c)\sqrt{3(a+b+c)}+3-4(a+b+c)=\frac{t^2}{3}.t+3-\frac{4t^2}{3}\)
\(=\frac{(t-3)(t^2-t-3)}{3}=\frac{(t-3)[t(t-3)+4(t-3)+9]}{3}\geq 0\) với mọi $t\geq 3$
Vậy $M\geq 0$, hay $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 4(a+b+c-1)$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
1 tháng 9 2021
ta có :
\(ab>2016a+2017b\Rightarrow a\left(b-2016\right)>2017b\) hay ta có : \(a>\frac{2017b}{b-2016}\)
Vậy \(a+b>\frac{2017b}{b-2016}+b=b+2017+\frac{2016\times2017}{b-2106}=b-2016+\frac{2016\times2017}{b-2106}+2016+2017\)
\(\ge2\sqrt{2016\times2017}+2016+2017=\left(\sqrt{2016}+\sqrt{2017}\right)^2\)
Vậy ta có đpcm
12 tháng 8 2018
Mọi người giúp em với, em cần gấp lắm ạ. Em cảm ơn mọi người nhiều ạ
PA
2 tháng 8 2017
Đề: Cho a, b, c, d là 4 số dương thoả mãn abcd = 1. Chứng minh rằng: \(\left(\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}\right)\left(\sqrt{1+c}+\sqrt{1+d}\right)\ge8\)
~ ~ ~ ~ ~
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:
\(\left(\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}\right)\left(\sqrt{1+c}+\sqrt{1+d}\right)\)
\(\ge2\sqrt[4]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\times2\sqrt[4]{\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\)
\(=4\sqrt[4]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\)
\(\ge4\sqrt[4]{2\sqrt{a}\times2\sqrt{b}\times2\sqrt{c}\times2\sqrt{d}}\)
\(=4\sqrt[4]{16\sqrt{abcd}}\)
= 8 (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d = 1