Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta cần chứng minh BĐT phụ sau là : Với x,y>0 thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow y\left(x+y\right)+x\left(x+y\right)\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
dấu = xảy ra <=> x=y
Áp dụng BĐT phụ đó , ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+2}=\frac{4}{3}\)
dấu = xảy ra <=>a=b=1/2
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}=\frac{b+1+a+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\frac{1+1+1}{ab+a+b+1}=\frac{3}{ab+1+1}\)
\(=\frac{3}{a\left(1-a\right)+2}=\frac{3}{a-a^2+2}=\frac{3}{-\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{9}{4}}=\frac{3}{-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{4}}\)
\(\ge\frac{3}{\frac{9}{4}}=\frac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bạn từ chứng minh BĐT đầu bài.
a) Áp dụng: \(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+abc}\)
\(=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
b) Với abc = 1. Ta viết BĐT lại thành:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{abc}\)
Sử dụng cách chứng minh ở câu a.
c) Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\) thì xyz = 1; x, y, z > 0. Đưa về chứng minh:
\(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le1\)
Cách chứng minh tương tự câu b.
Ta có: \(a^2+bc\ge2\sqrt{a^2bc}=2a\sqrt{bc}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+bc}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{1}{b^2+ac}\le\frac{1}{2b\sqrt{ac}};\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)
Cộng theo vế ta có:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ac}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{\sqrt{bc}}{2abc}+\frac{\sqrt{ac}}{2abc}+\frac{\sqrt{ab}}{2abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}{2abc}\le\frac{a+b+c}{2abc}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
\(A=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)\)
ta có : \(\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(2ab+a^2+b^2\right)}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=4\)
và \(1=a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)
=> A >/ 6 (dpcm)