Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Trong tam giác OIK có:
|OK −− OI| < IK < |OK + OI| hay ∣R−r∣<IK<∣R+r∣∣R−r∣<IK<∣R+r∣.
Vậy hai đường tròn (I) và (K) luôn cắt nhau.
b) Dễ thấy tứ giác OMCN là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).
Mà OM = OI + IM = OI + OK;
ON = OK + KN = OK + OI.
Vậy OM = ON hay hình chữ nhật OMCN là hình vuông.
c) Gọi giao điểm của BK và MC là L và giao điểm của AB với MC là P.
Tứ giác IBKO là hình chữ nhật. Suy ra IB = OK.
Tứ giác MLBI là hình vuông nên ML = BI, BL = OK.
Từ đó suy ra ΔBLP=ΔKOIΔBLP=ΔKOI. Vì vậy LP = OI.
Suy ra MP = ON = MC. Hay điểm C trùng với P.
Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.
d) Nếu OI + OK = a (không đổi) thì OM = MC = a không đổi. Suy ra điểm C cố định.
Vậy đường thẳng AB luôn đi qua điểm C cố định.
K A B D E I M N O H
Xét tg KAD và tg KEA có
\(\widehat{AKE}\) chung
\(sđ\widehat{KAD}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AD (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
\(sđ\widehat{KEA}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AD (góc nội tiếp)
\(\Rightarrow\widehat{KAD}=\widehat{KEA}\)
=> tg KAD đồng dạng với tg KEA (g.g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{KA}{KE}=\dfrac{KD}{KA}\Rightarrow KA^2=KD.KE\)
Xét tg vuông AKO có
\(KA^2=KH.KO\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
\(\Rightarrow KD.KE=KH.KO\Rightarrow\dfrac{KD}{KO}=\dfrac{KH}{KE}\)
Xét tg KDH và tg KOE có
\(\dfrac{KD}{KO}=\dfrac{KH}{KE}\)(cmt)
\(\widehat{EKO}\) chung
=> tg KHD đồng dạng với tg KOE (Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, hai góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng)
\(\Rightarrow\widehat{DHK}=\widehat{OED}\)
Ta có
\(\widehat{DHK}+\widehat{DHO}=180^o\Rightarrow\widehat{OED}+\widehat{DHO}=180^o\)
=> tứ giác DEOH là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối nhau = \(180^o\) là tứ giác nội tiếp)
\(\Rightarrow\widehat{ODH}=\widehat{OEH}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung OH)
Xét tg DOE có
\(\widehat{DOE}=180^o-\widehat{ODE}-\widehat{OED}\)
Tam giác ODE có OD=OE=R => tg ODE cân tại O
\(\Rightarrow\widehat{ODE}=\widehat{OED}\)
\(\Rightarrow\widehat{DOE}=180^o-2\widehat{ODE}\) (1)
Xét tg DHE có
\(\widehat{DHE}=180^o-\widehat{EDH}-\widehat{DEH}=180^o-\left(\widehat{ODE}+\widehat{ODH}\right)-\left(\widehat{OED}-\widehat{OEH}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{DHE}=180^o-\widehat{ODE}-\widehat{ODH}-\widehat{OED}+\widehat{OEH}\)
Mà \(\widehat{ODE}=\widehat{OED};\widehat{ODH}-\widehat{OEH}\) (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{DHE}=180^o-2\widehat{OED}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{DHH}=\widehat{DOE}\) (đpcm)