Question

[Bùi Hiền Lương]

Cho đường tròn (O;R) và dây CD cố định. Gọi H là trung điểm của CD. Gọi S là một điểm trên tia đối của tia DC. Qua S kẻ hai tiếp tuyến SA, SB tới đường tròn (O). Đường thẳng AB cắt SO, OH lần lượt tại E và F.

a)     Chứng minh rằng SEHF là tứ giác nội tiếp

b)     Chứng minh rằng OE.OS không phụ thuộc vào vị trí của S trên DC

c)     Cho R = 10cm, SD = 4cm, OH = 6cm. Tính CD và SA

d)    Chứng minh khi S di động trên tia đối của DC thì đường thẳng AB đi qua một điểm cố định

Answer 1

[Hoàng Thanh Tuấn]

D C O B A F H E S

1. SA,SB là tiếp tuyến tại AB => \(SO⊥AB\)tại E => E là trung điểm của AB. H là trung điểm của CD => \(OH⊥CD\)Nên ta có \(\hept{\begin{cases}\widehat{SEF}=90^0\\\widehat{SHF}=90^0\end{cases}}\Rightarrow SEHF\)là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính SF
2. Vì SA là tiếp tuyến của (O) tại A =>\(\Delta SAO\)vuông tại A. \(AB⊥SO\Rightarrow\)AE là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:\(OE.OS=OA^2=R^2\) (R không đổi) nên tích OE.OS không phục thuộc vào vị trí của S
3. \(HD=\frac{DC}{2}=\sqrt{OD^2-OH^2}=\sqrt{R^2-OH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\Rightarrow DC=16\)=> SC=SD+CD=4+16=20 Vậy nên \(SA^2=SD.SC\Rightarrow SA=\sqrt{SD.SC}=\sqrt{4.20}=4\sqrt{5}\)
4. Ta có O,H cố định nên OH cố định mà AB cắt OH tại F , F thuộc OH nên F là điểm cố định mà AB luôn đi qua khi S chạy trên tia đối của DC

Answer 2

[Mỹ Duyên]

Tại sao SA²=SD.SC trong khi tam giác SAC không vuông???

Ko có tam giác vg sao dùng đc hệ thức giữa cạnh và đường cao chứ @Hoàng Thanh Tuấn