Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho △ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O), 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H
a/ Chứng minh : B,C,D,E cùng nằm trên một đường tròn .Xác định tâm M của đường tròn này.
b/ Chứng minh : OM // AH
c/ Chứng minh : AB.AE = AC.AD
d/ Gọi K là điểm đối xứng của H qua M .
. . A B C D M H I
a) Xét (O) có OB \(\perp\) CD
=> H là trung điểm của CD
=> HC=HD
Xét tứ giác ODBC có: H là trung điểm của OB,CD
=> tứ giác ADBC là hình bình hành
Mà: OC=OD(gt)
=> tứ giác ADBC là hình thoi
b)Vì tứ giác ADBC là hình thoi
=> OC=BC
Mà OC=OB(=R)
=> OC=OB=BC
=> ΔOBC là tam giác đều
=> góc BOC =60
c) Có: OB=BC(cmt)
Mà: OB=BM
=> OB=BC=BM
Xét ΔOCM có CB là đường trung tuyến
Mà: BC=OB=BM(cmt)
=> ΔOCM vuông tại C
=> góc ACM=90
=> MC là tiếp tuyến của (O)
Xét ΔOCM vuông tại C nên:
\(OM^2=OC^2+CM^2\) ( theo đl pytago)
=> \(MC^2=OM^2-OC^2=4R^2-R^2=3R^2\)
=> \(MC=\sqrt{3}R\)
d) Vì ODBC là hình thoi (cmt)
=> OB là đường phân giác của góc COD
=> góc COH= góc DOH
Có: góc COH+ góc HOI =90
hay: góc DOH+ góc HOI = 90
Mà: góc HOI+ góc HIO =90
=> DOH = góc HIO
Xét ΔHOI và ΔHDO có:
góc OHI : góc chung
góc HIO = góc DOH(cmt)
=> ΔHOI ~ΔHDO
=> \(\frac{OH}{HD}=\frac{HI}{OH}\Rightarrow HI\cdot HD=OH^2\)
CHứng minh tương tự ta cũng có:
\(HB\cdot HM=HC^2\)
Xét ΔOCH vuông tại H
=> \(OH^2+HC^2=OC^2\)
Nên: \(HI\cdot HD+HB\cdot HM=OH^2+HC^2=OC^2=R^2\)
đề phải là OM=R/3 mới đúng chứ bạn
bạn tự vẽ hình theo đề OM=R/3 nha:
a) có \(\widehat{CND}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)
hay \(\widehat{MND}=90^o\)
tứ giác OMND có \(\widehat{MND}+\widehat{MOD}=90^o+90^o=180^o\)
=> tứ giác OMND nội tiếp đường tròn
b)Có OM=R/3=OB/3 => BM=2/3 OB
tam giác CBD có BO là trung tuyến và BM=2/3 BO
=> M là trọng tâm của tam giác CBD
=> CM là trung tuyến của tam giác CBD
hay CK là trung tuyến
=> K là trung điểm của BD
\(\Delta KCB\) và\(\Delta KDN\) có:
\(\widehat{CKB}=\widehat{DKN}\)(2 góc đối đỉnh)
\(\widehat{KCB}=\widehat{KDN}\)(cùng chắn cung BN)
\(\Rightarrow\Delta KCB\sim\Delta KDN\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{KC}{KD}=\dfrac{KB}{KN}\)
=> KC.KN=KB.KD
tam giác OBD vuông tại O
\(\Rightarrow BD=\sqrt{OB^2+OD^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2R^2}=R\sqrt{2}\)
=> \(KB=KD=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\)
=> KC.KN=\(\dfrac{R\sqrt{2}}{2}.\dfrac{R\sqrt{2}}{2}=\dfrac{R^2}{2}\left(đpcm\right)\)
c) tam giác COM vuông tại O
\(\Rightarrow CM=\sqrt{CO^2+OM^2}=\sqrt{R^2+\left(\dfrac{R}{3}\right)^2}=\dfrac{R\sqrt{10}}{3}\)
\(\Delta COM\) và \(\Delta CND\) có:
\(\widehat{OCM}chung\)
\(\widehat{COM}=\widehat{CND}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta COM\sim\Delta CND\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{OM}{DN}=\dfrac{CM}{CD}\)
\(\Rightarrow DN=\dfrac{OM.CD}{CM}=\dfrac{\dfrac{R}{3}.2R}{\dfrac{R\sqrt{10}}{3}}=\dfrac{R\sqrt{10}}{5}\)
ai gthich hộ chỗ cm K là tđiểm Bd với.Tại sao tam giác CBD có BO là trung tuyến và BM=2/3 OB thì M lại là trọng tâm của tam giác CBD ??