Question

[Trần Yến Ngọc]

Cho đường tròn (O) đường kính NP và điểm M nằm ngoài đường tròn . Từ điểm M kẻ tiếp tuyến MN ( N là tiếp điểm ) , cắt tuyến MDP ( D nằm giữa M và P ) . Qua P kẻ PE // OM ( E thuộc đường tròn (O)) . Kẻ NE cắt OM tại H

a) MN² = MD . MP

b) HN = HE

c) \(\widehat{OPH}=\widehat{OMP}\)

Answer 1

[Huy Hoang]

O N H E M D P

a) MN là tiếp tuyến đường tròn (O) \(\Rightarrow\widehat{MNP}=90^o\)

DO = ON = OP => \(DO=\frac{1}{2}NP\Rightarrow\widehat{NDP}=90^o\)

- Aps dụng hệ thức lượng cho tam giác MNP vuông tại N đường cao ND , ta có :

MN² = MD . MP ( đpcm )

b) Ta có : PE // OM => PE // OH

Mà O là trung điểm của NP => OH là đường trung bình của tam giác ENP

=> H là trung điểm NE

Vậy : HN = HE ( đpcm )

c) Theo ( c/m câu b ) : HN = HE => \(HE\perp OM\)

Áp dung hệ thức trong tam giác NMO vuông tại N , đường cao NH :

Ta có : ON² = OM . OH => OP² = OM . OH

\(\Rightarrow\frac{OP}{OM}=\frac{OH}{OP}\left(1\right)\)

- Xét 2 tam giác: OHP và OPM

có : \(\frac{OP}{OM}=\frac{OH}{OP}\left(theo\left(1\right)\right)\)

       \(\widehat{O}\)là góc chung

Do đó : \(\Delta OHP~\Delta OPM\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OPH}=\widehat{OMP}\left(đpcm\right)\)