Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có ngay \(\widehat{PHB}=90^o\)
Lại có D đối xứng với B qua O nên BD là đường kính đường tròn (O)
Vậy thì \(\widehat{BCD}=90^o\Rightarrow\widehat{PCB}=90^o\)
Xét tứ giác BHCP có \(\widehat{PCB}=\widehat{PHB}=90^o\) mà C và H là hai đỉnh kề nhau nên BHCP là tứ giác nội tiếp.
b) Do BHCP là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{HCD}=\widehat{PBH}\) (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện với nó)
Lại có \(\widehat{ACD}=\widehat{ABD}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)
\(\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{ACD}+\widehat{DCH}=\widehat{ABD}+\widehat{PBH}=\widehat{PBD}=90^o\)
Vậy nên AC vuông góc CH.
c) Tứ giác CHMA nội tiếp nên \(\widehat{CAH}=\widehat{CMH}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH)
Lại có \(\widehat{CAH}=\widehat{CAB}=\widehat{CIB}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB)
Vậy nên \(\widehat{CMH}=\widehat{CIB}\)
Chúng lại ở vị trí đồng vị nên HM // Bi
Xét tam giác ABQ có H là trung điểm AB, HM // BI nên HM là đường trung bình tam giác ABQ.
Suy ra M là trung điểm AQ.
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có ngay = 90 o Lại có D đối xứng với B qua O nên BD là đường kính đường tròn (O) Vậy thì = 90 o⇒ = 90 o Xét tứ giác BHCP có = = 90 o mà C và H là hai đỉnh kề nhau nên BHCP là tứ giác nội tiếp. b) Do BHCP là tứ giác nội tiếp nên = (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện với nó) Lại có = (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) ⇒ = + = + = = 90 o Vậy nên AC vuông góc CH. c) Tứ giác CHMA nội tiếp nên = (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH) Lại có = = (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB)
Bài 4:
a:
Xét (O) có
ΔCED nội tiếp
CD là đường kính
=>ΔCED vuông tại E
ΔOEF cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của EF
Xét tứ giác CEMF có
I là trung điểm chung của CM và EF
CM vuông góc EF
=>CEMF là hình thoi
=>CE//MF
=<MF vuông góc ED(1)
Xét (O') có
ΔMPD nội tiêp
MD là đường kính
=>ΔMPD vuông tại P
=>MP vuông góc ED(2)
Từ (1), (2) suy ra F,M,P thẳng hàng
b: góc IPO'=góc IPM+góc O'PM
=góc IEM+góc O'MP
=góc IEM+góc FMI=90 độ
=>IP là tiếp tuyến của (O')
a) \(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat{ACB}=90^o\). Vậy tam giác ABC vuông tại C.
Xét tam giác vuông PAB có đường cao AC, áo dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
\(PA^2=PC.PB\)
b) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có PA = PM
Lại có OA = OM nên PO là trung trực của AM.
c) Ta có \(\widehat{CBA}=30^o\Rightarrow\widehat{CAB}=60^o\) hay tam giác CAO đều. Suy ra AC = R
Xét tam giác vuông PAB có đường cao AC, áo dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
\(\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow\frac{1}{R^2}=\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{4R^2}\)
\(\Rightarrow AP=\frac{2R}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow PO=\sqrt{PA^2+AO^2}=\frac{\sqrt{21}R}{3}\)
Xét tam giác vuông PAO, đường cao AN, áo dụng hệ thức lượng ta có:
\(\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{PA^2}+\frac{1}{AO^2}\Rightarrow AN=\frac{2\sqrt{7}R}{7}\)
\(\Rightarrow AM=2AN=\frac{4\sqrt{7}}{7}R\)
d) Kéo dài MB cắt AP tại E.
Ta thấy ngay tam giác EMA vuông có PM = PA nên PA = PE
Do MH // AE nên áo dụng định lý Ta let ta có:
\(\frac{HI}{AP}=\frac{IB}{PB}=\frac{MI}{EP}\)
Do AP = EP nên MI = HI
Ta cũng có N là trung điểm AM nên NI là đường trung bình tam giác AMH.
\(\Rightarrow NI=\frac{AH}{2}\)
Xét tam giác vuông AMB, đường cao MH, áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(AH.AB=AM^2\Rightarrow AH=\frac{8}{7}R\)
\(\Rightarrow NI=\frac{4}{7}R\)