Question

[Miyamoto Hanako]

Cho ΔABC, có AC < AB, M là trung điểm BC, vẽ phân giác AD. Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với AD tại H, đường thẳng này cắt tia AC tại F, cắt AB tại E. Chứng minh rằng:

a) ΔAFE cân

b) Vẽ đường thẳng Bx // EF, cắt AC tại K. Chứng minh rằng KF = BE

c) AE = \(\frac{AB+AC}{2}\)

Answer 1

[le tri tien]

a) Xét ΔΔ AFH vuông tại H và ΔΔ AED vuông tại H có :

^FAH=^EAH (AD là tia phân giác FAEˆ )

chung AH

=> Δ AFH = Δ AED (cgv - gn)

=> AF = AE (cặp cạnh tương ứng)

=> Δ AFE cân

b) Vì Δ AFE cân

=>^ AFE=AEF

Vì EF // BK

=> ^AFE=^K (đồng vị)

và ^AEF=^ABK(đồng vị)

Mà ^AFE=^AEF

=> ^

=> Δ ABK cân tại A

=> AK = AB

Ta có :

AK = AF + KF

AB = AE + EB

Mà AK = AB và AF = AE

=> FK = EB

c) Từ M kẻ MI // AK

Nối FI

Vì FM // KI

=> ^MFI=^FIK (so le trong)

Vì FD // MI

=> ^KFI=^FIM (so le trong)

Xét Δ FKI và Δ IFM có :

^KFI=^FIM(chứng minh trên)

chung FI

^KIF=^MFI(so le trong)

=> Δ FKI = Δ IFM (g-c-g)

=> FK = MI (cặp cạnh tương ứng)

Vì FE // BK

=> ^IBM=^BME (so le trong)

mà ^BME=^CMF (đối đỉnh)

=> ^CMF=^IBM

Vì MI // CF

=> ^MCF=^IMB(đồng vị)

Xét Δ FCM và Δ IMB có :

^MCF=^IMB(chứng minh trên)

CM = MB (M là trung điểm của BC)

^CMF=^IBM (chứng minh trên)

=> Δ FCM = Δ IMB (g-c-g)

=> CF = MI (cặp cạnh tương ứng)

mà MI = FK (chứng minh trên)

=> CF = FK

Mà FK = EB (theo câu b)

=> CF = EB

Theo câu a :

FA = EA

=> AE+FA:2 = AE

=> AE = AE+AC+FC:2

Mà CF = EB

=> AE+EB+AC:2

=> AE = AB+AC:2

đpcm