Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa: \(P=2x^4+x^3\left(2y-1\right)+y^3\left(2x-1\right)+2y^4\); x+y=1
Ta có \(P=2x^4+x^3\left(2y-1\right)+y^3\left(2x-1\right)+2y^4=2x^4+2x^3y-x^3+2xy^3-y^3+2y^4\)
\(=x^3\left(2x+2y\right)+y^3\left(2x+2y\right)-\left(x^3+y^3\right)=\left(2x+2y\right)\left(x^3+y^3\right)-\left(x^3+y^3\right)\)
\(=\left(2x+2y-1\right)\left(x^3+y^3\right)=x^3+y^3\)
Do \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=x^2-xy+y^2=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\)
Mà \(x+y=1\Rightarrow x^2+y^2+2xy=1\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)-\left(x-y\right)^2=1\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Cho x ;y không âm thỏa \(xy+x+y=8\). Tìm max \(x^2+y^2\).
Vì x; y không âm nên ta có ngay \(xy\ge0\) \(\Rightarrow8\ge x+y\)
\(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\le64\)
Dấu = xảy ra khi (x;y) = (8;0); (0;8)
\(x^2+y^2\\ =\dfrac{1}{3}\left(x^2+4+y^2+4\right)+\dfrac{2}{3}\left(x^2+y^2\right)-\dfrac{8}{3}\\ \ge\dfrac{4}{3}\left(x^2+y^2+xy\right)-\dfrac{8}{3}=8\)
Vây Min A = 8 khi x=y=2
\(\frac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)=1+\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\ge1\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{2}{3}\)
\(P\ge x^4+y^4-\frac{x^4+y^4}{2}=\frac{x^4+y^4}{2}\ge\frac{\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)^2}{2}=\frac{1}{18}\)
\(P_{min}=\frac{1}{18}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{3};-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\) và hoán vị
Bình phương 2 vế giả thiết:
\(x^4+y^4+2x^2y^2=x^2y^2+2xy+1\)
\(\Rightarrow x^4+y^4=-x^2y^2+2xy+1\)
\(\Rightarrow P=-2x^2y^2+2xy+1=-\frac{1}{2}\left(2xy-1\right)^2+\frac{3}{2}\le\frac{3}{2}\)
\(P_{max}=\frac{3}{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}xy=\frac{1}{2}\\x^2+y^2=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=...\\y=...\end{matrix}\right.\)