Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
*Tìm Max:
Do x,y,z là các số không âm và x + y + z = 3 nên \(0\le x,y,z\le3\)
Trước hết ta chứng minh:\(\sqrt{x^2-6x+26}\le\frac{\left(\sqrt{17}-\sqrt{26}\right)}{3}x+\sqrt{26}\) với \(0\le x\le3\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{9}\left(\sqrt{442}-17\right)x\left(3-x\right)\ge0\) (đúng)
Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại và cộng theo vế thu được: \(M\le\sqrt{17}+2\sqrt{26}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(3;0;0\right)\) và các hoán vị.
*Tìm min:
Ta có: \(\sqrt{x^2-6x+26}=\sqrt{\frac{1}{21}\left(2x-23\right)^2+\frac{17}{21}\left(x-1\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\frac{1}{21}\left(2x-23\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{21}}\left|2x-23\right|=\sqrt{\frac{1}{21}}\left(23-2x\right)\) (vì \(2x-23\le2.3-23< 0\) )
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế:
\(M\ge\sqrt{\frac{1}{21}}\left(69-2\left(x+y+z\right)\right)=3\sqrt{21}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Ta có: \(6x^2+8xy+11y^2=2\left(x-y\right)^2+\left(2x+3y\right)^2\ge\left(2x+3y\right)^2\)
Tương tự: \(6y^2+8yz+11z^2\ge\left(2y+3z\right)^2\)
\(6z^2+8zx+11x^2\ge\left(2z+3x\right)^2\)
=> \(P\le\frac{x^2+3xy+y^2}{2x+3y}+\frac{y^2+3yz+z^2}{2y+3z}+\frac{z^2+3zx+x^2}{2z+3x}\)
=> \(4P\le\frac{4x^2+12xy+4y^2}{2x+3y}+\frac{4y^2+12yz+4z^2}{2y+3z}+\frac{4z^2+12zx+4x^2}{2z+3x}\)
\(=\frac{\left(2x+3y\right)^2-5y^2}{2x+3y}+\frac{\left(2y+3z\right)^2-5z^2}{2y+3z}+\frac{\left(2z+3x\right)^2-5x^2}{2z+3x}\)
\(=5\left(x+y+z\right)-5\left(\frac{y^2}{2x+3y}+\frac{z^2}{2y+3z}+\frac{x^2}{2z+3x}\right)\)
\(\le5\left(x+y+z\right)-5.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{5\left(x+y+z\right)}=4\left(x+y+z\right)\)
Lại có: \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\)với mọi x; y; z
=> \(4P\le4.\sqrt{9}=12\)
=> \(P\le3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
Vậy max P = 3 đạt tại x = y = z = 1.
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
Em không chắc đâu nha!
Từ đề bài suy ra \(0\le x;y;z\le1\Rightarrow x\left(1-x\right)\ge0\Rightarrow x\ge x^2\)
Tương tự với y với z.Ta có:
\(P=\sqrt{x^2+x^2+x+1}+\sqrt{y^2+y^2+y+1}+\sqrt{z^2+z^2+z+1}\)
\(\le\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{y^2+2y+1}+\sqrt{z^2+2z+1}\)
\(=\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(z+1\right)^2}\)
\(=\left|x+1\right|+\left|y+1\right|+\left|z+1\right|\)
\(=\left(x+y+z\right)+3=1+3=4\)
Dấu "=" xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;1) và các hoán vị của nó.
Vậy....
huhuhu em mới học lớp 6 thui mà sao lại nhờ em
xin lỗi nhak em ko giúp được đâu tì đứa khác giải giúp đi nhé
trong đề thi HSG tỉnh thanh hóa năm 2010-2011(đánh lên mạng đi,hình như là bài 5)
Ta có \(\left(2x^2+y^2+3\right)\left(2+1+3\right)\ge\left(2x+y+3\right)^2\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{2x+y+3}\)
Mà \(\frac{1}{2x+y+3}=\frac{1}{x+x+y+1+1+1}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+3\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{36}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+3\right)\)
Khi đó
\(P\le\frac{\sqrt{6}}{36}\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}+9\right)=\frac{\sqrt{6}}{36}.18=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Vậy \(MaxP=\frac{\sqrt{6}}{2}\)khi x=y=z=1
\(P=\sqrt{\left(x-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(y-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(z-3\right)^2+4^2}\)
\(P\ge\sqrt{\left(x-3+y-3+z-3\right)^2+\left(4+4+4\right)^2}=6\sqrt{5}\)
\(P_{min}=6\sqrt{5}\) khi \(x=y=z=1\)
Mặt khác với mọi \(x\in\left[0;3\right]\) ta có:
\(\sqrt{x^2-6x+25}\le\dfrac{15-x}{3}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(9\left(x^2-6x+25\right)\le\left(15-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow8x\left(3-x\right)\ge0\) luôn đúng
Tương tự: ...
\(\Rightarrow P\le\dfrac{45-\left(x+y+z\right)}{3}=14\)
\(P_{max}=14\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị