Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1+xy=2\left(x^2+y^2\right)\ge4\left|xy\right|\ge4xy\)
\(\Rightarrow3xy\le1\Rightarrow xy\le\frac{1}{3}\)
\(1+xy\ge4\left|xy\right|\ge-4xy\Rightarrow5xy\ge-1\Rightarrow xy\ge-\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow-\frac{1}{5}\le xy\le\frac{1}{3}\)
\(P=7\left(x^4+y^4+2x^2y^2\right)-10x^2y^2=7\left(x^2+y^2\right)^2-10x^2y^2\)
\(P=\frac{7}{4}\left(xy+1\right)^2-10x^2y^2=-\frac{33}{4}x^2y^2+\frac{7}{2}xy+\frac{7}{4}\)
Đặt \(t=xy\Rightarrow P=f\left(t\right)=-\frac{33}{4}t^2+\frac{7}{2}t+\frac{7}{4}\) với \(t\in\left[-\frac{1}{5};\frac{1}{3}\right]\)
Xét \(f\left(t\right)\) trên \(\left[-\frac{1}{5};\frac{1}{3}\right]\)
\(f\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{18}{25}\) ; \(f\left(\frac{1}{3}\right)=2\) ; \(f\left(-\frac{b}{2a}\right)=f\left(\frac{7}{33}\right)=\frac{70}{33}\)
\(\Rightarrow M=\frac{70}{33}\) ; \(m=\frac{18}{25}\)
\(P=\sqrt{x^4+x^2y^2}+x^2=\sqrt{x^4+\frac{1}{x^2}}+x^2\)
Ta có: \(x^4+\frac{1}{x^2}=x^4+\frac{1}{8x^2}+\frac{1}{8x^2}+...+\frac{1}{8x^2}\ge9\sqrt[9]{x^4.\left(\frac{1}{8x^2}\right)^8}\)
\(=9\sqrt[9]{\frac{1}{8^8.x^{12}}}\)
=> \(P=3\sqrt[18]{\frac{1}{8^8.x^{12}}}+x^2\)
\(=\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}+\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}+\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}+x^2\)
\(\ge4\sqrt[4]{\left(\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}\right)^3.x^2}\)
\(=4.\left(\frac{1}{8^{\frac{1}{3}}.x^{\frac{1}{2}}}\right).x^2=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x^4=\frac{1}{8x^2}\\x^2=\sqrt[8]{\frac{1}{8^8x^{12}}}\end{cases}}\)<=> x^2 = 1/2 khi đó y = 2 , x = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Vậy GTNN của P = 2.
Mình làm chả biết có đúng ko :< Chắc phải nhờ anh Nguyễn Việt Lâm check hộ :< Cái này dùng mấy bđt thuần nhất được ko anh?
\(x+y=x^2+y^2-xy\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}-\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4\left(x+y\right)-\left(x+y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(4-x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4\ge x+y\ge0\)
\(max=4\Leftrightarrow x=y=2\)
\(min=0\Leftrightarrow x=y=0\)
\(x^{2013}+x^{2013}+1+1+...+1\ge2011\sqrt[2013]{x^{2013}.x^{2013}}=2011.x^2\) (2011 số 1)
Tương tự: \(2y^{2013}+2011\ge2013y^2\) ; \(2z^{2013}+2011\ge2013z^2\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}\right)+6033\ge2013\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le3\)
\(M_{max}=3\) khi \(x=y=z=1\)
\(\hept{\begin{cases}mx+y=m^2+m+1\\-x+my=m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\left(my-m^2\right)+y-m^2-m-1=0\\x=my-m^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(m^2y-m^2\right)+\left(y-1\right)-\left(m^3+m\right)=0\\x=my-m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m^2+1\right)\left(y-m-1\right)=0\\x=my-m^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y=m+1\\x=m\left(m+1\right)-m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=m\\y=m+1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(x^2+y^2=2m^2+2m+1=2\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=\frac{-1}{2}\) hay hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{2};\frac{1}{2}\right)\)