Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hình như đề bài có vấn đề : thừa đk ab + bc + ac = abc
ta có : \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\ge\frac{\sqrt{4a^2b^2}}{ab}=\frac{2ab}{ab}=2\)
Tương tự \(\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\ge2\) ; \(\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge2+2+2=6>\sqrt{3}\)
Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\frac{1}{bc(2a^2+bc)}+\frac{1}{ac(2b^2+ac)}+\frac{1}{ab(2c^2+ab)}\geq 1(*)$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{1}{bc(2a^2+bc)}+\frac{1}{ac(2b^2+ac)}+\frac{1}{ab(2c^2+ab)}\geq \frac{9}{bc(2a^2+bc)+ac(2b^2+ac)+ab(2c^2+ab)}=\frac{9}{(ab+bc+ac)^2}=\frac{9}{3^2}=1$
Do đó BĐT $(*)$ đúng. Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Từ bất đẳng thức Cô si ta có:
\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\left[\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\)Ta cần chứng minh:
\(\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau, nên không mất tính tổng quát ta giả sử \(a\ge b\ge c\)nên bất đẳng thức cuối cùng đùng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Lời giải:
Ta thấy:
\(\text{VT}=(a+\frac{ca}{a+b})+(b+\frac{ab}{b+c})+(c+\frac{bc}{c+a})\)
\(=\frac{a(a+b+c)}{a+b}+\frac{b(a+b+c)}{b+c}+\frac{c(a+b+c)}{c+a}\)
\(=(a+b+c)\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)
\(\geq (a+b+c).\frac{(a+b+c)^2}{a^2+ab+b^2+bc+c^2+ac}=\frac{(a+b+c)^3}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\) (theo BĐT Cauchy-Schwarz)
Có:
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2+2$
$\Rightarrow a+b+c=\sqrt{a^2+b^2+c^2+2}=\sqrt{t+2}$ với $t=a^2+b^2+c^2$
Do đó:
$\text{VT}\geq \frac{\sqrt{(t+2)^3}}{t+1}$ \(=\sqrt{\frac{(t+2)^3}{(t+1)^2}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((t+2)^3=\left(\frac{t+1}{2}+\frac{t+1}{2}+1\right)^3\geq 27.\frac{(t+1)^2}{4}\)
\(\Rightarrow \text{VT}=\sqrt{\frac{(t+2)^3}{(t+1)^2}}\geq \sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
$(a^3+1)(a+1)\geq (a^2+1)^2\Rightarrow a^3+1\geq \frac{(a^2+1)^2}{a+1}; a+1\leq \sqrt{2(a^2+1)}$
$\Rightarrow \frac{a^3+1}{b\sqrt{a^2+1}}\geq \frac{\sqrt{(a^2+1)^3}}{b(a+1)}\geq \frac{a^2+1}{\sqrt{2}b}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:
$\text{VT}\geq \frac{a^2+1}{\sqrt{2}b}+\frac{b^2+1}{\sqrt{2}c}+\frac{c^2+1}{\sqrt{2}a}$
Bài toán sẽ được chứng minh khi ta chỉ ra được: $\frac{a^2+1}{\sqrt{2}b}+\frac{b^2+1}{\sqrt{2}c}+\frac{c^2+1}{\sqrt{2}a}\geq \sqrt{2}(a+b+c)$
$\Leftrightarrow \frac{a^2+1}{b}+\frac{b^2+1}{c}+\frac{c^2+1}{a}\geq 2(a+b+c)$
$\Leftrightarrow ab^3+bc^3+ca^3+ab+bc+ac\geq 2abc(a+b+c)(*)$
Thật vậy, theo BĐT AM-GM:
$ab^3+bc+a^2b^2c^2\geq 3ab^2c$. Tương tự với $bc^3+ca+a^2b^2c^2\geq 3abc^2; ca^3+ab+a^2b^2c^2\geq 3a^2bc$
Cộng theo vế và thu gọn:
$ab^3+bc^3+ca^3+ab+bc+ac\geq 3abc(a+b+c-abc)(1)$
Mà: $(a+b+c)^3\geq 27abc\geq 27(abc)^3$ (do $abc\leq 1$) nên $a+b+c\geq 3abc(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow ab^3+bc^3+ca^3+ab+bc+ac\geq 2abc(a+b+c)$. BĐT $(*)$ được chứng minh.
Bài toán hoàn tất.
Cho bài toán phụ : Cho a ; b là các số thực dương
C/m : \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
Do a ; b là các số thực dương \(\Rightarrow ab\ge1\)
Ta có : \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+1}-\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{b^2+1}-\frac{1}{ab+1}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+1-a^2-1}{\left(a^2+1\right)\left(ab+1\right)}+\frac{ab+1-b^2-1}{\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(ab-a^2\right)\left(b^2+1\right)+\left(ab-b^2\right)\left(a^2+1\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab^3-a^2b^2+ab-a^2+a^3b-a^2b^2+ab-b^2}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab\left(a^2+b^2\right)+2ab-2a^2b^2-a^2-b^2}{...}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(ab-1\right)-2ab\left(ab-1\right)}{...}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{...}\ge0\)
Dễ thấy mẫu luôn dương , tử \(\ge0\) => luôn đúng
=> BĐT được c/m
Áp dụng BĐT phụ ( từ bài toán phụ trên ) , ta có :
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}=\frac{2c^2+2+ab+1}{\left(ab+1\right)\left(c^2+1\right)}=\frac{2c^2+ab+3}{\left(ab+1\right)\left(c^2+1\right)}\)
( * )
Có : \(\frac{2c^2+ab+3}{\left(ab+1\right)\left(c^2+1\right)}-\frac{3}{2}=\frac{4c^2+2ab+6-3abc^2-3c^2-3ab-3}{...}=\frac{c^2+3-ab-3abc^2}{...}=\frac{c^2+bc+ac-3abc^2}{...}=\frac{c\left(a+b+c-3abc\right)}{...}\)\(\left(ab+bc+ac=3\right)\) ( 1 )
Do a , b , c là các số thực dương , áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số , ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3abc\left(ab+bc+ac=3\right)\) ( 2 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{2c^2+ab+3}{\left(ab+1\right)\left(c^2+1\right)}-\frac{3}{2}\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{2c^2+ab+3}{\left(ab+1\right)\left(c^2+1\right)}\ge\frac{3}{2}\) ( *' )
Từ (*) và (*') => ĐPCM
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)