Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky với các số thực \(a,b,c\)
\(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}\right)\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq \left ( \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b} \right )^2\)
\(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}\right)\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )\geq \left ( \frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b} \right )^2\)
Cộng hai vế trên thu được:
\(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\right)\left(\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}\right)\geq \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2\)
Tiếp tục áp dụng Bunhiacopxky:
\([\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2](1+1)\geq \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2\)
Suy ra:
\(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\right)\left(\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}\right)\geq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử \(c=\min (a,b,c)\)
Khi đó, do \(ab+bc+ac=3\Rightarrow ab\geq 1\).
Với $ab\geq 1$ ta có bổ đề sau: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\)
Để cm bổ đề trên rất đơn giản. Quy đồng và biến đổi tương đương thu được \((a-b)^2(ab-1)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(ab\geq 1\) )
Sử dụng bổ đề vào bài toán:
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}=\frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}(*)\)
Giờ ta sẽ cm \(\frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}\geq \frac{3}{2}(**)\)
\(\Leftrightarrow 2(2c^2+ab+3)\geq 3(abc^2+ab+c^2+1)\)
\(\Leftrightarrow c^2+3\geq 3abc^2+ab\)
\(\Leftrightarrow c^2+bc+ac\geq 3abc^2\)
\(\Leftrightarrow c+b+a\geq 3abc\).
BĐT trên đúng do theo AM-GM: \(3(a+b+c)=(ab+bc+ac)(a+b+c)\geq 9abc\Rightarrow a+b+c\geq 3abc\) )
Do đó $(*)$ được cm.
Từ \((*),(**)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?q=Cho+c%C3%A1c+s%E1%BB%91+th%E1%BB%B1c+d%C6%B0%C6%A1ng+a,+b,+c+tho%E1%BA%A3+m%C3%A3n:+abc+a+b=3ababc+a+b=3ababc+a+b=3ab.+Ch%E1%BB%A9ng+minh+r%E1%BA%B1ng:+%E2%88%9Aaba+b+1+%E2%88%9Abbc+c+1+%E2%88%9Aaca+c+1%E2%89%A5%E2%88%9A3aba+b+1+bbc+c+1+aca+c+1%E2%89%A53\sqrt{\dfrac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\dfrac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\dfrac{a}{ca+c+1}}\ge\sqrt{3}&id=695796
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{a^3(b+c)}.\frac{a(b+c)}{4}}=2\sqrt{\frac{1}{4a^2}}=\frac{1}{a}=\frac{abc}{a}=bc\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{b(c+a)}{4}\geq \frac{1}{b}=ac\)
\(\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{c(a+b)}{4}\geq \frac{1}{c}=ab\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}+\frac{ab+bc+ac}{2}\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{ab+bc+ac}{2}\)
Tiếp tục áp dụng AM-GM: \(ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\)
\(\Rightarrow \text{VT}\ge \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Lời giải:
Đặt vế trái là $A$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)(a+b+b+c+c+c)\geq (1+1+1+1+1+1)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{36}{a+2b+3c}\)
Hoàn toàn TT:
\(\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{3}{a}\geq \frac{36}{b+2c+3a}\)
\(\frac{1}{c}+\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\geq \frac{36}{c+2a+3b}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow 6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq 36A\)
\(\Rightarrow A\leq \frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Theo đkđb: \(ab+bc+ac=abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Do đó: \(A\leq \frac{1}{6}< \frac{3}{16}\) (đpcm)
Lời giải:
a)
Sử dụng pp biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)
\(\Leftrightarrow (ab+1)(a^2+b^2+2)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng với mọi $ab\geq 1$)
Ta có đpcm.
b) Áp dụng công thức của phần a ta có:
\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}\geq \frac{2}{1+(ab)^2}\)
Tiếp tục áp dụng công thức phần a: \(\frac{1}{1+(ab)^2}+\frac{1}{1+b^4}\geq \frac{2}{1+ab^3}\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{3}{b^4+1}\geq \frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{b^4+1}+\frac{3}{c^4+1}\geq \frac{4}{1+bc^3}; \frac{1}{c^4+1}+\frac{3}{a^4+1}\geq \frac{4}{1+ca^3}\)
Cộng theo vế các BĐT trên thu được:
\(4\left(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\right)\geq 4\left(\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\right)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\geq \frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
\(\dfrac{2}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{a+2}-1+\dfrac{2}{b+2}-1+\dfrac{2}{c+2}-1\ge2-3\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}=\dfrac{a^2}{a^2+2a}+\dfrac{b^2}{b^2+2b}+\dfrac{c^2}{c^2+2c}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2a+b^2+2b+c^2+2c}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\) đpcm
Phía trên thoả mãn \(\ge1\) chứ không phải 3/2 đâu ạ