Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đề sai á? tg ns lăng nhăng lên đây thử xem có ai giải k thôi
Cho a, b, c > 0; a+b+c=3. Chứng minh
[(a+1):(b2+1)]+[(b+1):(c2+1)]+[(c+1):(a2+1)] lớn hơn hoặc bằng 3
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{a+1}{b^2+1}=\Sigma_{cyc}\left(\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\right)\)
\(=\left(a+b+c+3\right)-\Sigma_{cyc}\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\)
\(\ge6-\Sigma_{cyc}\frac{b\left(a+1\right)}{2}=6-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)
\(\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b =c = 1
Is that true?
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a+1}{1+b^2}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{1+b^2}\ge a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}=a+1-\frac{ab}{2}-\frac{b}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\frac{b+1}{1+c^2}\ge b+1-\frac{bc}{2}-\frac{c}{2};\frac{c+1}{1+a^2}\ge a+1-\frac{ac}{2}-\frac{a}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca}{2}-\frac{a+b+c}{2}\)
\(\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}-\frac{3}{2}=3=VP\)
Khi \(a=b=c=1\)
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
sao dài thế @@ chộp bài nào làm bài nấy ha
Câu 1:
Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ thì \(\sqrt{7}=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, a;b thuộc Z, b khác 0
\(\frac{a}{b}=\sqrt{7}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=7\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=7\Rightarrow a^2=7b^2\)=> a2 chia hết cho 7 (1)
=> a chia hết cho 7 => a=7k với k thuộc Z
Thay a=7k vào a2=7b2 ta được 49k2=7b2 => 7k2=b2 => b2 chia hết cho 7 => b chia hết cho 7 (2)
Từ (1) và (2) => phân số a/b chưa tối giản trái với giả thiết ban đầu
=>\(\sqrt{7}\) là số vô tỉ (đpcm)
Câu 1:
Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ \(\Rightarrow\sqrt{7}=\frac{m}{n}\) (tối giản)
\(\Rightarrow7=\left(\frac{m}{n}\right)^2=\frac{m^2}{n^2}\) Hay \(7n^2=m^2\left(1\right)\)
Đẳng thức này chứng tỏ \(m^2⋮7\) Mà \(7\) là số nguyên tố nên \(m⋮7\)
Đặt \(m=7k\left(k\in Z\right)\) ta có: \(m^2=49k^2\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra: \(7n^2=49k^2\) nên \(n^2=7k^2\left(3\right)\)
Từ \(\left(3\right)\) ta lại có: \(n^2⋮7\) và vì \(7\) là số nguyên tố nên \(n⋮7\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m⋮7\\n⋮7\end{cases}}\) nên phân số \(\frac{m}{n}\) không tối giản, trái với giả thiết
Vậy \(\sqrt{7}\) không phải là số hữu tỉ
\(\Leftrightarrow\sqrt{7}\) là số vô tỉ (Điều phải chứng minh)