Question

[Đinh Thị Ngọc Anh]

Cho các số nguyên dương \(a_1,a_2,a_3,...a_n\) thỏa mãn \(\left(a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)⋮30\)

CMR: \(a_1^5+a_2^5+a_3^5+...+a_n^5⋮30\)

Answer 1

[Nguyễn Anh Kim Hân]

Đặt A = a₁+a₂+a₃+...+a_n

B = a₁⁵ + a₂⁵ + a₃⁵+ ... + a_n⁵

Xét X = B - A = (a₁⁵ - a₁) + (a₂⁵ - a₂) + ... + (a_n⁵ - a_n)

a_i⁵ - a_i = a_i(a_i⁴ - 1) = a_i (a_i-1)(a_i+1)(a_i²+1) (i = 1;2;3;...;n)

a_i (a_i-1)(a_i+1) chia hết cho 2;3 mà (2;3)=1 nên a_i (a_i-1)(a_i+1) chia hết cho 6. Vậy X chia hết cho 6.

Nếu a_i=5k => X chia hết 5.

Nếu a_i = 5k\(\pm\)1 => (a_i-1)(a_i+1) chia hết 5 => X chia hết 5.

Nếu a_i = 5k\(\pm\)2 => a_i² + 1 = (5k\(\pm\)2)² + 1 = 25k² \(\pm\) 20k + 5 => X chia hết 5.

Mà (6;5) =1 => X = B - A chia hết 30 mà A chia hết 30 => B chia hết 30 hay a₁⁵ + a₂⁵ + a₃⁵+ ... + a_n⁵ chia hết 30.