Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{3}=\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{3xyz}\ge\frac{2}{\sqrt{3xyz\left(x+y+z\right)}}\ge\frac{2}{xy+yz+zx}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số không âm:
\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{1.x^3y^3}=3xy\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)
Tương tự ta có: \(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}\);\(\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\)
Cộng các vế của các BĐT trên, ta được:
\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\)\(+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\)\(+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge\)\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)\(+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}\)\(+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\)
Tiếp tục áp dụng Cô - si:
\(BĐT\ge3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\)
Vậy \(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\)\(+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\)\(+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge3\sqrt{3}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=1\))
\(x^3+y^3+1=x^3+y^3+xyz\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
Tương tự:
\(y^3+z^3+1\ge yz\left(x+y+z\right);z^3+x^3+1\ge zx\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}}{xy}+\frac{\sqrt{yz\left(x+y+z\right)}}{yz}+\frac{\sqrt{zx\left(x+y+z\right)}}{zx}\)
\(=\sqrt{x+y+z}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\right)\)
\(\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{xy}\cdot\sqrt{yz}\cdot\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)
Ta có đánh giá quen thuộc: \(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)=3\left(x+y+z\right)\)(Do xyz = 1)\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Như vậy, ta cần chứng minh: \(\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{xy+yz+zx}\)
Đặt \(t=\frac{1}{xy+yz+zx}\)thì bất đẳng thức trở thành \(3t^2+\frac{1}{3}\ge2t\Leftrightarrow9t^2+1\ge6t\Leftrightarrow\left(3t-1\right)^2\ge0\)*đúng*
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}t=\frac{1}{xy+yz+zx}=\frac{1}{3}\\x=y=z>0,xyz=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{xz+yz}=\frac{4}{z\left(x+y\right)}\)(1)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(z\left(x+y\right)\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}\le\frac{1^2}{4}=\frac{1}{4}\)=> \(\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{\frac{1}{4}}=16\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge16\)=> \(\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\ge16\)( đpcm )
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1/4 ; z = 1/2
Từ dữ kiện đề bài => x + y + z = xyz
Ta có :
\(\frac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\frac{x}{\sqrt{yz+xyz.x}}=\frac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+z}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+y}}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)\)
Tương tự với hai hạng tử còn lại , suy ra
\(Q\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy Max = 3/2 <=> x = y = z
Nguồn : Đinh Đức Hùng
Từ \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
\(\Rightarrow\)\(x+y+z=xyz\)
Ta có : \(\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}=\sqrt{yz+x^2yz}=\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Tương tự : \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(z+x\right)}\); \(\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}=\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\)
Nên \(Q=\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\frac{y}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\frac{z}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(Q=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\)
Áp dụng BĐT \(\sqrt{A.B}\le\frac{A+B}{2}\left(A,B>0\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi A = B :
Ta được :
\(Q\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy GTLN của \(Q=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
với xyz=2009, thay vào, ta có
\(A=\frac{x^2yz}{xy+x^2yz+xyz}+\frac{y}{yz+y+xyz}+\frac{z}{xz+z+1}\)
=\(\frac{xz}{1+zx+y}+\frac{1}{z+1+xz}+\frac{z}{xz+z+1}=1\)
=> ... k phụ thuộc vào x,y,z(ĐPCM)
^_^
\(P=\frac{xy}{z+1}+\frac{yz}{x+1}+\frac{xz}{y+1}\)
\(P=\frac{xy}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}+\frac{yz}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\frac{xz}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\)
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{xy}{x+z}+\frac{xy}{y+z}+\frac{yz}{x+y}+\frac{yz}{x+z}+\frac{xz}{x+y}+\frac{xz}{y+z}\right)\)
\(P\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{4}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM,ta có:
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+1\ge2y\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+2y^2+3}\le\frac{1}{2xy+2y+2}\)
Chứng minh tương tự,ta có:
\(\frac{1}{y^2+2z^2+3}\le\frac{1}{2yz+2z+2}\)
\(\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2zx+2x+2}\)
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức,ta có được:
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
Mặt khác,ta lại có được:
\(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\)
\(=\frac{1}{xy+y+1}+\frac{xy}{xy+y+1}+\frac{y}{xy+y+1}\)
\(=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)