Question

[phạm minh tâm]

cho các số dương x,y thỏa mãn\(\left(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\right)-3\left(x+y\right)+4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-4=0\)

tim ma cua M=\(\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)

Answer 1

[phạm minh tâm]

pt đã cho <=>\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)-2\left(x+y\right)-\left(x+y+2\sqrt{xy}\right)+2\sqrt{xy}+4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-4=0\)

<=>\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x+y\right)-\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-2\left(x+y\right)+2\sqrt{xy}-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\right)^2=0\)

<=>\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\right)\left(x+y-\sqrt{xy}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2\right)=0\)

<=>\(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\\x+y-\sqrt{xy}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0\end{cases}}\)

th2: nhân cả hai vế với 2 ta được

\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2+2>0\)

=>th2 vô nghiệm

do đó M=\(\sqrt{xy}\)

áp dụng bdt cô si ta có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}>=2\sqrt{\sqrt{xy}}\)

<=>1>=\(\sqrt{\sqrt{xy}}\)(do \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\))

<=>\(\sqrt{xy}< =1\)

<=>M<=1