Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b) \(\left(1+a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)
\(\ge\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=1+a-\frac{ab+b}{2}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế được:
\(VT\ge6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}\)
\(=6-\frac{3+3}{2}=3^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
ta có: \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow-1\le|a|\le1.\),tương tự với b và c
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow abc+\left(a+b+c+ab+ac+bc+1\right)\ge0.\left(1\right)\)
Ta thấy \(\left(a+b+c+1\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac+2a+2b+2c+1.\)
\(=2+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ac\)
\(=2\left(1+a+b+c+ab+ac+bc\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1+a+b+c+ab+bc+ac\ge0\left(2\right)\)
Cộng vế theo vế của (1) và (2) Suy ra \(abc+2\left(1+a+b+c+ab+ac+bc\right)\ge0\left(đpcm\right)\)
Thay \(4=4\left(ab+ac+bc\right)\) vì \(ab+ac+bc=1\)=> \(10a^2+10b^2+c^2\ge4\left(ab+ac+bc\right)\)\(\Leftrightarrow20a^2+20b^2+2c^2-8ac-8bc-8ac\ge0\Leftrightarrow\left(16a^2-8ac+c^2\right)+\left(16b^2-8bc+c^2\right)\)
\(+\left(4a^2-8ab+4b^2\right)\)\(\Leftrightarrow\left(4a-c\right)^2+\left(4b-c\right)^2+\left(2a-2b\right)^2\ge0\)vì bất đẳng thức cuối luôn đúng nên bất đẳng thức đầu đúng ( đpcm ). Dấu "=" xảy ra khi 4a=4b=c
tích mình vs nha ><