Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
Do đó :
\(\frac{a}{b+c}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\)\(b+c=2a\)
\(\frac{b}{c+a}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\)\(c+a=2b\)
\(\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\)\(a+b=2c\)
Suy ra : \(P=\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{b}{c}+1\right)\left(\frac{c}{a}+1\right)=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{c+a}{a}=\frac{2c}{b}.\frac{2a}{c}.\frac{2b}{a}=\frac{8abc}{abc}=8\)
Vậy \(P=8\)
Chúc bạn học tốt ~
Phùng Minh Quân thiếu TH a+b+c=0
Xét a+b+c khác 0 giống bn dưới
Xét \(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\) (*)
Ta có: \(P=\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{b}{c}+1\right)\left(\frac{c}{a}+1\right)\)
\(P=\frac{a+b}{b}\cdot\frac{b+c}{c}\cdot\frac{c+a}{a}\)
Thay (*) vào P ta được
\(P=\frac{-c}{b}\cdot\frac{-a}{c}\cdot\frac{-b}{a}=\frac{-abc}{abc}=-1\)
Gọi \(\frac{a}{2014}=\frac{b}{2015}=\frac{c}{2016}=k\Rightarrow a=2014k;b=2015k;c=2016k\left(1\right)\)
Thay (1) vào M ta có :
M=4(2014k-2015k)(2015k-2016k)-(2016k-2014k)2
=>M=4.-k.-k-4k2
=>M=4k2-4k2=0
Vậy M = 0
Áp dụng t/c dãy tỷ số bằng nhau có
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=\frac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{c+b+a}=\)
\(=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b-c}{c}=1\Rightarrow a+b=2c\)
Tương tự có \(a+c=2b;b+c=2a\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{a.b.c}=\frac{2c.2a.2b}{a.b.c}=8\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{cases}}\)
Thế vào bài toán trở thành
Cho: \(\frac{x+z}{xz}+\frac{x+y}{xy}+\frac{y+z}{yz}=2013\left(1\right)\)
Tính \(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Từ (1) ta có
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx+yz+xy+zx}{xyz}=2013\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}=2013\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{2013}{2}\)
Ta lại có
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{2013}{2}\)
\(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{a-b}{\left(c-b\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{\left(a-c\right)-\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{\left(b-a\right)-\left(b-c\right)}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{\left(c-b\right)-\left(c-a\right)}{\left(c-b\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a-c}+\frac{1}{b-c}-\frac{1}{b-a}+\frac{1}{c-a}-\frac{1}{c-b}\)
\(=2\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)=2013\)
\(\Rightarrow M=\frac{2013}{2}\)