Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho các số nguyên dương x, y, z. Chứng minh rằng:
\(1< \frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< 2\)
Với x, y, z nguyên dương
Ta có: \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)
\(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\)
\(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)(1)
Mặt khác \(\frac{x}{x+y}< 1\Rightarrow\frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}\)
\(\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}\)
\(\frac{z}{z+x}< \frac{z+y}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< 2\)(2)
Từ (1) và (2) => dpcm
Có : x/x+y ; y/y+z ; z/z+x đều > 0
=> x/z+y + y/y+z + z/z+x > x/x+y+z + y/x+y+z + z/x+y+z = x+y+z/x+y+z = 1 (1)
Lại có : x,y,z > 0
=> 0 < x/x+y ; y/y+z ; z/z+x < 1
=> x/x+y + y/y+z + z/z+x < x+z/x+y+z + y+x/x+y+z + z+y/x+y+z = x+z+y+x+z+y/x+y+z = 2 (2)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
Tk mk nha
1 < x /x+y + y /y+x+ z /z+x < 2
=> 1 < (x + y + z) / (2x + 2y + 2z) < 2
=> 1 < ( x + y + z) / 2 x ( x+ y +z) < 2
=> 1 < ( 1 /2 + 2 - 1) < 2
Vậy 1< 1,5 < 2 => 1 < x /x+y + y /y+x+ z /z+x < 2
nhớ tích cho mk nhé!
\(1< \frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}< 2\)
\(=>1< \left(x+y+z\right):2\left(x+y+z\right)< 2\)
\(=>1< \frac{1}{2}+2-1< 2\)
\(=>1< 1,5< 2\)
\(=>1< \frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\)
Cho 3 số nguyên dương chứ bạn ơi !
Có : x/x+y > 0 => x/x+y > x/x+y+z
Tương tự : y/y+z > y/x+y+z ; z/z+x > z/x+y+z
=> x/x+y + y/y+z + z/z+x > x+y+z/x+y+z = 1
Lại có : x < x+y => x/x+y < 1 => 0 < x/x+y < 1 => x/x+y < x+z/x+y+z
Tương tự : y/y+z < y+x/x+y+z ; z/z+x < z+y/x+y+z
=> x/x+y + y/y+z + z/z+x < x+z+y+x+z+y/x+y+z = 2
=> ĐPCM
Tk mk nha
\(\frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+....+\frac{4031}{2015^2.2016^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-.....-\frac{1}{2016^2}=1-\frac{1}{2016^2}\)
\(\frac{1}{2016^2}>0\Rightarrow A< 1\left(ĐPCM\right)\)
bạn chờ xíu mk lm câu sau nha
A= x+y-y/x+y + y+z-z/y+z + z+x-x/x+z
A=3 - ( x/x+z + y/x+y + z/y+z)
Mà:x/x+z>x/x+y+z,x/y+z>y/x+y+z;z/x+z>z/x+y+z
suy ra :A<2 (1)
Mặt khác A=x/x+y + y/y+z + z/x+z
Mà x/x+y>x/x+y+z;y/y+z>y/x+y+z;z/x+z>z/x+y+z
suy ra A=1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1<A<2 suy ra A ko phải là số nguyên
Ta có :
\(\frac{x}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}\)
\(\frac{y}{x+y+z+t}< \frac{y}{y+z+t}< \frac{y+x}{x+y+z+t}\)
\(\frac{z}{x+y+z+t}< \frac{z}{z+t+x}< \frac{z+y}{x+y+z+t}\)
\(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{t+x+y}< \frac{t+z}{x+y+z+t}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}< \frac{2\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}\)
\(\Rightarrow1< M< 2\)
Do đó M ko nhận giá trị nguyên
Bạn ghi sai đề nhé chữa thành :
M=\(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}\)
Giải
Ta có: \(\frac{x}{x+y+z}>\frac{x}{x+y+z+t}\)
\(\frac{y}{x+y+t}>\frac{y}{x+y+z+t}\)
\(\frac{z}{y+z+t}>\frac{z}{x+y+z+t}\)
\(\frac{t}{x+z+t}>\frac{t}{x+y+z+t}\)
=> M=\(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}\)>\(\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}=\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}=1\)
=> M>1 (1)
Ta lại có: \(\frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}\)
\(\frac{x}{y+z+t}< \frac{x+y}{x+y+z+t}\)
\(\frac{z}{z+t+x}< \frac{z+y}{x+y+z+t}\)
\(\frac{t}{t+x+y}< \frac{t+z}{x+y+z+t}\)
=> M=\(\frac{x}{x+y+z}=\frac{y}{y+z+t}=\frac{z}{z+t+x}=\frac{t}{t+x+y}\)<
\(\frac{x+t}{x+y+z+t}+\frac{y+x}{x+y+z+t}+\frac{z+y}{x+y+z+t}=\frac{t+z}{x+y+z+t}=\frac{2\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}=2\)=> M<2 (2)
Từ (1) và (2) => 1<M<2
=> M không phải là số tự nhiên
vì s,y,z,t là stn khác 0 \(\Rightarrow\frac{x}{x+y+z}< \frac{x}{x+y};\frac{y}{x+y+t}< \frac{y}{x+y}\Rightarrow\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}< \frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}=1\)
\(\frac{z}{y+z+t}< \frac{z}{z+t};\frac{t}{x+z+t}< \frac{t}{z+t}\Rightarrow\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+y+t}< \frac{z}{z+t}+\frac{t}{z+t}=1\)
\(\Rightarrow M=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}< 1+1=2\)
\(\Rightarrow M^{10}< 2^{10}=1024< 1025\Rightarrow M^{10}< 1025\)